Considere a curva planar C de equação x^2+(y-1)^2=1.
Escreva a equação em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado dá a curva C de equação
x^2+(y-1)^2=1
e pede para reescrever em coordenadas polares. Vamos precisar usar a relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,theta), ou seja,
x = rcostheta, y = rsintheta

Passo 2

Substituímos x = rcostheta e y = rsintheta na equação da curva. Isso dá
(rcostheta)^2 + l(rsintheta - 1r)^2 = 1

Passo 3

Expandindo o quadrado e agrupando termos, obtemos
r^2cos^2theta + l(r^2sin^2theta - 2rsintheta + 1r) = 1
Ou seja,
r^2(cos^2theta + sin^2theta) - 2rsintheta + 1 = 1

Passo 4

Como cos^2theta + sin^2theta = 1, a expressão simplifica para
r^2 - 2rsintheta + 1 = 1 Longrightarrow r^2 - 2rsintheta = 0

Passo 5

Fatorando r^2 - 2rsintheta = 0 temos
r,(r - 2sintheta) = 0
A solução r=0 é apenas a origem (que está na curva), e a solução não-trivial é
r = 2sintheta

Resposta

Em coordenadas polares, a curva C fica
r = 2sintheta

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