Desenhe a região de integração correspondente a integral integral0^1 integralx^2^1 cos (y)raizy d y d x. Inverta a ordem de integração e encontre o valor de integral.

Passo 1

O enunciado dá a integral
integral0^1integralx^2^1cos(y)raizy,dy,dx
e pede (a) desenhar a região de integração no plano xy, (b) inverter a ordem de integração e (c) calcular a integral. O conteúdo envolvido é mudança de ordem de integração em integrais duplas e cálculo de integrais simples.

Passo 2

A região R é
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<=1
No plano xy, ela fica no primeiro quadrante, acima da parábola y=x^2 e abaixo da reta y=1, para x de 0 a 1.

Passo 3

Para inverter a ordem, note que y vai do mínimo 0 (quando x=0) até 1. Para cada y fixo em [0,1], a condição x^2<= y 0<= x<= raizy. Assim
integral0^1!integralx^2^1cos(y)raizy,dy,dx =integraly=0^1!integralx=0^raizycos(y)raizy,dx,dy

Passo 4

Calcule primeiro a integral interna em x:
integral0^raizycos(y)raizy,dx =cos(y)raizyl[xr]0^raizy =cos(y)raizycdotraizy =cos(y)
Logo a integral dupla vira
integral0^1cos(y),dy =l[sin(y)r]0^1 =sin(1)-sin(0) =sin(1)

Resposta

sin(1)

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