Scja f(x, y)=2 x^2-4 x y+y^4+2.
Determine o plano tangente ao gráfico da função f no ponto (2,1,3).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico da função
f(x,y)=2x^2-4xy+y^4+2
no ponto (2,1,3). Para isso, vamos usar a fórmula da linearização de f em torno de (a,b):
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b),
que é exatamente a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro confirmamos que o ponto realmente está no gráfico, ou seja, que
f(2,1)=2cdot2^2-4cdot2cdot1+1^4+2=8-8+1+2=3,
o que coincide com a coordenada z=3.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(2x^2-4xy+y^4+2r) =4x-4y,
fy(x,y)=partialpartial yl(2x^2-4xy+y^4+2r) =-4x+4y^3

Passo 4

Avaliamo-las no ponto (2,1):
fx(2,1)=4cdot2-4cdot1=8-4=4,
fy(2,1)=-4cdot2+4cdot1^3=-8+4=-4

Passo 5

Substituindo em
L(x,y)=f(2,1)+fx(2,1),(x-2)+fy(2,1),(y-1),
temos
z=3+4(x-2)-4(y-1)
Podemos também expandir para forma mais simples.

Resposta

boxedz=3+4(x-2)-4(y-1)ou z=4x-4y-1

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