Considere a curva
no plano definida pela equação
. Calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva $ C $ definida pela equação $ \sigma(t) = \left(30 \cos^{3}(t), 30 \sin^{3}(t)\right) $ para $ t $ entre 0 e $ \pi $. O que precisamos fazer é calcular a integral de linha $ \int_{C}\left(1+\frac{y}{3}\right) ds $. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais de linha, parametrização de curvas e cálculo de derivadas. Vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a expressão para $ ds $ e então integrar a função ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva $ \sigma(t) = \left(30 \cos^{3}(t), 30 \sin^{3}(t)\right) $. Aqui, $ t $ varia de 0 a $ \pi $. Essa parametrização nos dá as coordenadas $ x $ e $ y $ em termos de $ t $. Precisamos usar essa parametrização para expressar a função que vamos integrar e também para encontrar $ ds $, que é o elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ ds $, que é o diferencial de arco. Para isso, precisamos encontrar a derivada de $ \sigma(t) $ com relação a $ t $, ou seja, $ \sigma’(t) $. Então, temos:
Vamos derivar cada componente usando a regra da cadeia.
Passo 4
Derivando $ 30 \cos^{3}(t) $:
Derivando $ 30 \sin^{3}(t) $:
Então, a derivada da parametrização é:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ ds $, que é o módulo da derivada:
Simplificando dentro da raiz:
Podemos fatorar $ 8100 \cos^{2}(t) \sin^{2}(t) $:
Como $ \cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1 $:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ y = 30 \sin^{3}(t) $ e $ ds = 90 \cos(t) \sin(t) dt $ na integral original:
Simplificando a expressão:
Distribuindo:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição $ u = \sin(t) $, então $ du = \cos(t) dt $:
Avaliado de 0 a $ \pi $:
Segunda integral:
Usando a mesma substituição $ u = \sin(t) $, $ du = \cos(t) dt $:
Avaliado de 0 a $ \pi $:
Resposta
Somando as duas integrais, temos:
Portanto, a integral $ \int_{C}\left(1+\frac{y}{3}\right) ds $ é igual a 0.