Considere a curva C no plano definida pela equação sigma(t)=(30 cos ^3(t), 30 sen^3(t)), 0 <= t <= pi. Calcule a integral integralC(1+y3) d s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva $ C $ definida pela equação $ \sigma(t) = \left(30 \cos^{3}(t), 30 \sin^{3}(t)\right) $ para $ t $ entre 0 e $ \pi $. O que precisamos fazer é calcular a integral de linha $ \int_{C}\left(1+\frac{y}{3}\right) ds $. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais de linha, parametrização de curvas e cálculo de derivadas. Vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a expressão para $ ds $ e então integrar a função ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva $ \sigma(t) = \left(30 \cos^{3}(t), 30 \sin^{3}(t)\right) $. Aqui, $ t $ varia de 0 a $ \pi $. Essa parametrização nos dá as coordenadas $ x $ e $ y $ em termos de $ t $. Precisamos usar essa parametrização para expressar a função que vamos integrar e também para encontrar $ ds $, que é o elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ ds $, que é o diferencial de arco. Para isso, precisamos encontrar a derivada de $ \sigma(t) $ com relação a $ t $, ou seja, $ \sigma’(t) $. Então, temos:
ds
Vamos derivar cada componente usando a regra da cadeia.

Passo 4

Derivando $ 30 \cos^{3}(t) $:
30 cos^3(t)
Derivando $ 30 \sin^{3}(t) $:
ddt[30 cos^3(t)] = 30 cdot 3 cos^2(t)(- sin(t)) = -90 cos^2(t) sin(t)
Então, a derivada da parametrização é:
30 sin^3(t)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ ds $, que é o módulo da derivada:
ds
Simplificando dentro da raiz:
ds = |sigma'(t)| dt = raiz(-90 cos^2(t) sin(t))^2 + (90 sin^2(t) cos(t))^2 dt
Podemos fatorar $ 8100 \cos^{2}(t) \sin^{2}(t) $:
ds = raiz8100 cos^4(t) sin^2(t) + 8100 sin^4(t) cos^2(t) dt
Como $ \cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1 $:
8100 cos^2(t) sin^2(t)

Passo 6

Agora, vamos substituir $ y = 30 \sin^{3}(t) $ e $ ds = 90 \cos(t) \sin(t) dt $ na integral original:
y = 30 sin^3(t)
Simplificando a expressão:
ds = 90 cos(t) sin(t) dt
Distribuindo:
integralC(1+y3) ds = integral0^pi (1 + 30 sin^3(t)3) cdot 90 cos(t) sin(t) dt

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
90 integral cos(t) sin(t) dt
Fazendo a substituição $ u = \sin(t) $, então $ du = \cos(t) dt $:
u = sin(t)
Avaliado de 0 a $ \pi $:
du = cos(t) dt
Segunda integral:
90 integral u du = 90 cdot u^22 = 45 sin^2(t)
Usando a mesma substituição $ u = \sin(t) $, $ du = \cos(t) dt $:
pi
Avaliado de 0 a $ \pi $:
45 [sin^2(pi) - sin^2(0)] = 45 (0 - 0) = 0

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
0 + 0 = 0
Portanto, a integral $ \int_{C}\left(1+\frac{y}{3}\right) ds $ é igual a 0.

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