Dado um campo escalar esfericamente simétrico,
, onde
é a distância radial em coordenadas esféricas, verifique, a expressão para o gradiente em coordenadas esféricas, que
Calcule, daí, o campo elétrico
, onde
é o potencial de Coulomb. (Aqui
denota a carga elétrica em um corpo, e é carga elétrica de uma partícula,
é a permissividade elétrica.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar que, para um campo escalar esfericamente simétrico
, vale
usando a fórmula do gradiente em coordenadas esféricas; (2) usar esse resultado para calcular o campo elétrico
quando
.
quando
Passo 2
Em coordenadas esféricas
a expressão geral do gradiente de um escalar
é
Como
depende só de
, temos
e
. Logo
como queríamos.
Passo 3
Agora seja
. Primeiro calculamos a derivada radial:
Pelo passo anterior,
Passo 4
O campo elétrico é
Isso mostra que
aponta radialmente para fora (se
) e decai como
.