Dado um campo escalar esfericamente simétrico, f=f(r), onde r é a distância radial em coordenadas esféricas, verifique, a expressão para o gradiente em coordenadas esféricas, que
nabla f(r)=d fd r r
Calcule, daí, o campo elétrico E=-nabla V(r), onde
V(r)=Z e4 pi epsilon0 r
é o potencial de Coulomb. (Aqui Z denota a carga elétrica em um corpo, e é carga elétrica de uma partícula, epsilon0 é a permissividade elétrica.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar que, para um campo escalar esfericamente simétrico f=f(r), vale
nabla f(r)=dfdr,hat r,
usando a fórmula do gradiente em coordenadas esféricas; (2) usar esse resultado para calcular o campo elétrico
vec E=-nabla V(r)
quando
V(r)=Z e4piepsilon0,r.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,theta,phi) a expressão geral do gradiente de um escalar f(r,theta,phi) é
nabla f = partial fpartial r,hat r + 1r,partial fpartialtheta,hattheta + 1rsintheta,partial fpartialphi,hatphi
Como f depende só de r, temos partial f/partialtheta=0 e partial f/partialphi=0. Logo
nabla f(r) = dfdr,hat r,
como queríamos.

Passo 3

Agora seja V(r)=Z e4piepsilon0,r. Primeiro calculamos a derivada radial:
dVdr = ddrl(Z e4piepsilon0;r^-1r) = -,Z e4piepsilon0;r^-2
Pelo passo anterior,
nabla V(r)=dVdr,hat r = - Z e4piepsilon0r^2;hat r

Passo 4

O campo elétrico é
vec E = -,nabla V(r) = -l(-Z e4piepsilon0r^2;hat rr) = Z e4piepsilon0r^2;hat r
Isso mostra que vec E aponta radialmente para fora (se Z>0) e decai como 1/r^2.

Resposta

boxedvec E(r)=Z e4piepsilon0,r^2;hat r

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