Desenhe a imagem da superfície parametrizada
sigma(u, v)=(u, raiz1-u^2-v^2, v) com |(u, v)| <= 1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da parametrização
sigma(u,v)=l(u,;raiz1 - u^2 - v^2,;vr) com u^2+v^2<=1
O conteúdo é identificar a superfície implícita gerada por essa parametrização e entender o domínio (u,v)mid u^2+v^2<=1.

Passo 2

Mostramos que todo ponto da imagem satisfaz a equação da esfera unitária. Se (x,y,z)=sigma(u,v), então
x^2 + y^2 + z^2 = u^2 + l(raiz1-u^2-v^2r)^2 + v^2 = u^2 + (1 - u^2 - v^2) + v^2 =1

Passo 3

Como a raiz quadrada em y=raiz1-u^2-v^2 é não negativa, temos y>=0. Além disso, a condição u^2+v^2<=1 garante que o argumento da raiz é não negativo, cobrindo exatamente os pontos da esfera com y>=0.

Passo 4

Varrer o disco u^2+v^2<=1 faz com que sigma percorra todos os pontos da esfera unitária cuja coordenada y é não negativa. Portanto a imagem é todo o hemisfério superior da esfera de raio 1.

Resposta

A imagem de sigma é o hemisfério superior da esfera unitária, ou seja
l(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2=1,;y>=0r
Graficamente, é uma “tampa” esférica acima do plano y=0.

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