Considere a curva
a(t)=lr (-t^4, t^4), & t<0 (0,0) ; & 0 <= t <= 1 ((1-t)^4,(1-t)^4) ; t>1
a é de classe C^* para quais valores inteiros de k?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descobrir para quais números inteiros $ k $ a curva $ a(t) $ é de classe $ C^{k} $. Classe $ C^{k} $ significa que a curva tem derivadas contínuas até a ordem $ k $. Para resolver isso, vamos precisar analisar cada parte da curva e ver até que ponto podemos derivar sem encontrar nenhum problema, como descontinuidades ou pontos onde a derivada não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva $ a(t) $:
a(t)
Isso significa que a curva é definida de três maneiras diferentes, dependendo do valor de $ t $. Nosso objetivo é verificar se as funções que definem a curva são suaves (ou seja, têm derivadas contínuas) em todos os pontos, especialmente nos pontos onde a definição muda, que são $ t = 0 $ e $ t = 1 $.

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade da curva em $ t = 0 $ e $ t = 1 $.
Para $ t < 0 $, quando $ t $ se aproxima de 0 pela esquerda, $ a(t) = (-t^{4}, t^{4}) $. Se $ t $ tende a 0, $ a(t) $ tende a $ (0, 0) $.
Para $ 0 \leq t \leq 1 $, $ a(t) = (0, 0) $, que já é $ (0,0) $.
Para $ t > 1 $, quando $ t $ se aproxima de 1 pela direita, $ a(t) = ((1-t)^{4}, (1-t)^{4}) $. Se $ t $ tende a 1, $ (1-t)^{4} $ tende a 0, então $ a(t) $ tende a $ (0,0) $.
Então, a curva é contínua em $ t = 0 $ e $ t = 1 $, pois todos os limites coincidem com o valor da função nesses pontos.

Passo 4

Agora vamos verificar a primeira derivada de $ a(t) $ em cada intervalo e nos pontos de junção.
Para $ t < 0 $:
a(t)
Para $ 0 \leq t \leq 1 $:
t < 0
Para $ t > 1 $:
a(t) = (-t^4, t^4) a'(t) = (-4t^3, 4t^3)
Vamos agora checar as derivadas nos pontos $ t = 0 $ e $ t = 1 $.
Em $ t = 0 $:
Pela esquerda, $ a’(0^{-}) = (0, 0) $ \
Pela direita, $ a’(0^{+}) = (0, 0) $
Em $ t = 1 $:
Pela esquerda, $ a’(1^{-}) = (0, 0) $ \
Pela direita, $ a’(1^{+}) = (0, 0) $
Então, a primeira derivada é contínua em todo o domínio.

Passo 5

Vamos proceder para a segunda derivada.
Para $ t < 0 $:
t < 0
Para $ 0 \leq t \leq 1 $:
a'(t) = (-4t^3, 4t^3) a''(t) = (-12t^2, 12t^2)
Para $ t > 1 $:
0 <= t <= 1
Checando as segundas derivadas nos pontos de junção:
Em $ t = 0 $:
Pela esquerda, $ a’’(0^{-}) = (0, 0) $ \
Pela direita, $ a’’(0^{+}) = (0, 0) $
Em $ t = 1 $:
Pela esquerda, $ a’’(1^{-}) = (0, 0) $ \
Pela direita, $ a’’(1^{+}) = (0, 0) $
A segunda derivada também é contínua em todo o domínio.

Passo 6

Vamos continuar com a terceira derivada.
Para $ t < 0 $:
t < 0
Para $ 0 \leq t \leq 1 $:
a''(t) = (-12t^2, 12t^2) a'''(t) = (-24t, 24t)
Para $ t > 1 $:
0 <= t <= 1
Checando as terceiras derivadas nos pontos de junção:
Em $ t = 0 $:
Pela esquerda, $ a’’’(0^{-}) = (0, 0) $ \
Pela direita, $ a’’’(0^{+}) = (0, 0) $
Em $ t = 1 $:
Pela esquerda, $ a’’’(1^{-}) = (0, 0) $ \
Pela direita, $ a’’’(1^{+}) = (0, 0) $
A terceira derivada também é contínua em todo o domínio.

Passo 7

Vamos agora verificar a quarta derivada.
Para $ t < 0 $:
t < 0
Para $ 0 \leq t \leq 1 $:
a'''(t) = (-24t, 24t) a''''(t) = (-24, 24)
Para $ t > 1 $:
0 <= t <= 1
Checando as quartas derivadas nos pontos de junção:
Em $ t = 0 $:
Pela esquerda, $ a’’’’(0^{-}) = (-24, 24) $ \
Pela direita, $ a’’’’(0^{+}) = (0, 0) $
Aqui temos um problema: $ a’’’’(0^{-}) \neq a’’’’(0^{+}) $. Isso significa que a quarta derivada não é contínua em $ t = 0 $.
Em $ t = 1 $:
Pela esquerda, $ a’’’’(1^{-}) = (0, 0) $ \
Pela direita, $ a’’’’(1^{+}) = (24, 24) $
Mais uma vez, $ a’’’’(1^{-}) \neq a’’’’(1^{+}) $. A quarta derivada também não é contínua em $ t = 1 $.

Resposta

A curva $ a(t) $ é de classe $ C^{3} $.

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