Considere a curva
a(t)=lr (-t^4, t^4), & t<0 (0,0) ; & 0 <= t <= 1 ((1-t)^4, & (1-t)^4) ; t>1
Mostre que a é diferenciável para todo t in R;

Passo 1

O enunciado define a curva vetorial a:RtoR^2 por
a(t)= (-t^4,,t^4), & t<0, (0,0), & 0<= t<=1, l((1-t)^4,(1-t)^4r), & t>1,
e pede para mostrar que ela é diferenciável em todo R. Vamos usar a definição de diferenciabilidade de funções vetoriais, que se baseia no limite do quociente incremental.

Passo 2

Para t<0 e t>1 a função a(t) é dada por polinômios em t, portanto é infinitamente diferenciável nesses intervalos. Não há problemas nesses pontos.

Passo 3

No ponto t=0 usamos o quociente incremental:
limtto0a(t)-a(0)t-0
Para t<0 temos
a(t)-a(0)t = (-t^4,t^4)-(0,0)t = (-t^3,t^3) to (0,0)
quando tto0^-. Para 0, a(t)=(0,0) e
a(t)-a(0)t = (0,0) to (0,0)
Como ambos os lados dão (0,0), a derivada em 0 existe e vale (0,0).

Passo 4

No ponto t=1 fazemos o mesmo:
limtto1a(t)-a(1)t-1
Para 0, a(t)=(0,0) e o quociente é (0,0). Para t>1:
a(t)-a(1)t-1 = ((1-t)^4,(1-t)^4)-(0,0)t-1 = l(-(1-t)^3,-(1-t)^3r) to (0,0)
quando tto1^+. Logo o limite existe e é (0,0).

Resposta

A curva a(t) é diferenciável em todo R.

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