e pede para mostrar que ela é diferenciável em todo R. Vamos usar a definição de diferenciabilidade de funções vetoriais, que se baseia no limite do quociente incremental.
Passo 2
Para t<0 e t>1 a função a(t) é dada por polinômios em t, portanto é infinitamente diferenciável nesses intervalos. Não há problemas nesses pontos.
Passo 3
No ponto t=0 usamos o quociente incremental:
limtto0a(t)-a(0)t-0
Para t<0 temos
a(t)-a(0)t = (-t^4,t^4)-(0,0)t = (-t^3,t^3) to (0,0)
quando tto0^-. Para 0, a(t)=(0,0) e
a(t)-a(0)t = (0,0) to (0,0)
Como ambos os lados dão (0,0), a derivada em 0 existe e vale (0,0).
Passo 4
No ponto t=1 fazemos o mesmo:
limtto1a(t)-a(1)t-1
Para 0, a(t)=(0,0) e o quociente é (0,0). Para t>1:
a(t)-a(1)t-1 = ((1-t)^4,(1-t)^4)-(0,0)t-1 = l(-(1-t)^3,-(1-t)^3r) to (0,0)