Questão 1. Decomponha
como a soma de dois vetores
e
, com
paralelo ao vetor
e
ortogonal a
. Encontre um vetor unitário que é ortogonal a
e é combinação linear de
e
.
a
e
b
f
C
g
d
a
e
b
f
C
g
d
Passo 1
O enunciado pede para decompor o vetor V = (–2, –2, 1) em V₁ paralelo a W = (–1, –2, 0) e V₂ ortogonal a W, usando projeção, e em seguida encontrar um vetor unitário ortogonal a W que seja combinação linear de V e W.
Passo 2
Para achar V₁ usamos a projeção de V sobre W. Primeiro calculamos o produto interno:
Então
Passo 3
Agora obtemos V₂ subtraindo V₁ de V:
Podemos checar que V₂·W = (–4/5)(–1)+(2/5)(–2)+1·0 = 4/5−4/5 = 0, ou seja, V₂ é ortogonal a W.
Passo 4
Qualquer combinação αV + βW que seja ortogonal a W tem de estar na direção de V₂. Para obter um vetor unitário, basta normalizar V₂. Primeiro a norma de V₂:
Então o vetor unitário desejado é
Resposta
Os vetores da decomposição são
e o vetor unitário ortogonal a W (combinação de V e W) é