Questão 1. Decomponha V=(-2,-2,1) como a soma de dois vetores V1 e V2, com V1 paralelo ao vetor W=(-1,-2,0) e V2 ortogonal a W. Encontre um vetor unitário que é ortogonal a W e é combinação linear de V e W.
a (lll-43 raiz5 & 0 & -2raiz5)
e (lll-1raiz5 & 23 raiz5 & -2raiz5)
b (lll-43 raiz5 & 0 & raiz53)
f (lll-1raiz5 & 0 & -2raiz5)
C (lll-43 raiz5 & 23 raiz5 & -2raiz5)
g (ccc-1raiz5 & 0 & raiz53)
d (lll-1raiz5 & 23 raiz5 & raiz53)
square(lll-43 raiz5 & 23 raiz5 & raiz53)

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor V = (–2, –2, 1) em V₁ paralelo a W = (–1, –2, 0) e V₂ ortogonal a W, usando projeção, e em seguida encontrar um vetor unitário ortogonal a W que seja combinação linear de V e W.

Passo 2

Para achar V₁ usamos a projeção de V sobre W. Primeiro calculamos o produto interno:
Vcdot W = (-2)(-1) + (-2)(-2) + (1)(0) = 2 + 4 + 0 = 6,
Wcdot W = (-1)^2 + (-2)^2 + 0^2 = 1 + 4 + 0 = 5
Então
V1 = projW V = Vcdot WWcdot W,W = 65,(-1,-2,0) = l(-65, -125,0r)

Passo 3

Agora obtemos V₂ subtraindo V₁ de V:
V2 = V - V1 = (-2,-2,1) - l(-tfrac65, -tfrac125,0r) = l(-tfrac45, tfrac25,1r)
Podemos checar que V₂·W = (–4/5)(–1)+(2/5)(–2)+1·0 = 4/5−4/5 = 0, ou seja, V₂ é ortogonal a W.

Passo 4

Qualquer combinação αV + βW que seja ortogonal a W tem de estar na direção de V₂. Para obter um vetor unitário, basta normalizar V₂. Primeiro a norma de V₂:
|V2| = raiz(-4/5)^2 + (2/5)^2 + 1^2 = raiztfrac1625 + tfrac425 + 1 = raiztfrac4525 = 3raiz55
Então o vetor unitário desejado é
u = V2|V2| = 53raiz5,l(-tfrac45, tfrac25,1r) = l(-tfrac43raiz5, tfrac23raiz5, tfracraiz53r)

Resposta

Os vetores da decomposição são
V1 = l(-tfrac65, -tfrac125, 0r), V2 = l(-tfrac45, tfrac25, 1r)
e o vetor unitário ortogonal a W (combinação de V e W) é
u = l(-tfrac43raiz5, tfrac23raiz5, tfracraiz53r)

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