(Grupo E) Construa uma matriz não-diagonal de ordem 2 diagonalizável, mas nãoinvertível.
Passo 1
O enunciado pede para construir uma matriz
que satisfaça simultaneamente:
.
não seja diagonal (ou seja, algum elemento fora da diagonal principal é não-zero).
.
seja diagonalizável (existem dois autovetores independentes que geram
).
.
não seja invertível (logo
).
Para isso vamos usar o critério de diagonalização por autovalores distintos e escolher um autovalor igual a zero para garantir .
Para isso vamos usar o critério de diagonalização por autovalores distintos e escolher um autovalor igual a zero para garantir
Passo 2
Escolhemos os autovalores
Assim definimos a matriz diagonal
cuja determinante é zero, e cujos autovalores são distintos, garantindo virtude de diagonalização. Em seguida escolhemos dois autovetores independentes para esses autovalores, por exemplo
Passo 3
Formamos a matriz de passagem
cujas colunas são
e
:
Como
,
é invertível. Agora construímos
Para calcular
notamos que
logo
e
Passo 4
Verificações finais:
-
não é diagonal (o elemento fora da diagonal principal é não-zero). -
, logo não é invertível. - Como construímos
com diagonal e invertível, é diagonalizável.
Resposta
Uma escolha possível é
que satisfaz todos os requisitos.]