(Grupo E) Construa uma matriz não-diagonal de ordem 2 diagonalizável, mas nãoinvertível.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma matriz Ain M2times2(R) que satisfaça simultaneamente:
1. A não seja diagonal (ou seja, algum elemento fora da diagonal principal é não-zero).
2. A seja diagonalizável (existem dois autovetores independentes que geram R^2).
3. A não seja invertível (logo det(A)=0).
Para isso vamos usar o critério de diagonalização por autovalores distintos e escolher um autovalor igual a zero para garantir det(A)=0.

Passo 2

Escolhemos os autovalores
lambda1 = 1, lambda2 = 0
Assim definimos a matriz diagonal
D = 1 & 0[6pt]0 & 0
cuja determinante é zero, e cujos autovalores são distintos, garantindo virtude de diagonalização. Em seguida escolhemos dois autovetores independentes para esses autovalores, por exemplo
v1 = 10 (para lambda1=1), v2 = 11 (para lambda2=0) ]

Passo 3

Formamos a matriz de passagem P cujas colunas são v1 e v2:
P = 1 & 1[4pt]0 & 1
Como det(P)=1neq0, P é invertível. Agora construímos
A = P,D,P^-1
Para calcular P^-1 notamos que
P^-1 = 1 & -1[4pt]0 & 1,
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P,D = 1 & 10 & 1 1 & 00 & 0 = 1 & 00 & 0,
e
A = (P,D),P^-1 = 1 & 00 & 0 1 & -10 & 1 = 1 & -1[4pt]0 & 0 ]

Passo 4

Verificações finais:
  • A=1 & -10 & 0 não é diagonal (o elemento -1 fora da diagonal principal é não-zero).
  • det(A)=1cdot0 - 0cdot(-1)=0, logo A não é invertível.
  • Como construímos A=PDP^-1 com D diagonal e P invertível, A é diagonalizável.

Resposta

Uma escolha possível é
A = 1 & -1[4pt]0 & 0,
que satisfaz todos os requisitos.]

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