1. Seja um paralelogramo construído sobre e . Determinar o ângulo entre as diagonais do paralelogramo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um paralelogramo construído sobre os vetores u e v e queremos o ângulo theta entre as diagonais. Vamos usar produto escalar e a relação
acdotb=|a|,|b|cosphi
para achar esse ângulo.

Passo 2

As diagonais do paralelogramo são
d1=u+v e d2=u-v
O ângulo theta entre elas satisfaz
costheta =d1cdot d2|d1|,|d2|

Passo 3

Calculamos primeiro o produto escalar das diagonais:
d1cdot d2 =(u+v)cdot(u-v) =|u|^2-|v|^2
Também sabemos que ang<=(u,v)=pi/6, então
ucdotv =|u|,|v|cospi6 =raiz3cdot1cdotraiz32 =32

Passo 4

Agora as magnitudes:
|d1|^2 =|u+v|^2 =|u|^2+|v|^2+2,ucdotv =3+1+2cdot32 =7,
|d2|^2 =|u-v|^2 =3+1-2cdot32 =1
Logo |d1|=raiz7, |d2|=1 e
d1cdotd2 =3-1 =2

Passo 5

Substituindo em costheta:
costheta =2raiz7,cdot1 =2raiz7,
portanto
theta=arccos2raiz7

Resposta

theta = arccos2raiz7.

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