Considere a curva , com . Verifique que a aplicação
,, é uma superfície regular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a aplicação é uma superfície regular. Aqui, é uma curva no espaço, e é um parâmetro que varia entre 0 e infinito. O conteúdo que vamos usar aqui é de Superfícies Regulares, especificamente verificando se os vetores tangentes são lineares independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície regular. Uma superfície parametrizada por é regular se os vetores derivadas parciais e são linearmente independentes em todo ponto. Isso garante que a superfície não tenha “dobras” ou “pontos suspeitos”.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a :
Sabemos que , então:
Portanto:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Vamos calcular :
Então:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se e são linearmente independentes. Para isso, calculamos o produto vetorial entre eles e verificamos se não é o vetor nulo.
Agora, para que os vetores sejam linearmente independentes, o produto vetorial não pode ser o vetor nulo. Observamos que u > 0 , então cada componente depende de u e t . A menos que u = 0 (o que não é o caso), o vetor resultante não é nulo.
Resposta
Como o produto vetorial Xu times Xt não é vetor nulo para u > 0 , os vetores Xu e Xt são linearmente independentes. Portanto, a aplicação X(u, t) = a(t) + u a^prime(t) é uma superfície regular.