Considere a curva a(t)=(t, t^2, t^3), com t in R. Verifique que a aplicação
X(u, t)=a(t)+u alpha^prime(t)
, u in(0, infty), é uma superfície regular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a aplicação X(u, t) = a(t) + u a^prime(t) é uma superfície regular. Aqui, a(t) = (t, t^2, t^3) é uma curva no espaço, e u é um parâmetro que varia entre 0 e infinito. O conteúdo que vamos usar aqui é de Superfícies Regulares, especificamente verificando se os vetores tangentes são lineares independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície regular. Uma superfície parametrizada por X(u, t) é regular se os vetores derivadas parciais Xu e Xt são linearmente independentes em todo ponto. Isso garante que a superfície não tenha “dobras” ou “pontos suspeitos”.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de X em relação a u e t .
A derivada parcial em relação a u :
Xu = partial Xpartial u = partialpartial u ( t, t^2, t^3 ) + partialpartial u ( u a^prime(t) ) = a^prime(t)
Sabemos que a(t) = (t, t^2, t^3) , então:
a^prime(t) = ( ddt t, ddt t^2, ddt t^3 ) = (1, 2t, 3t^2)
Portanto:
Xu = (1, 2t, 3t^2)
Agora, a derivada parcial em relação a t :
Xt = partial Xpartial t = partialpartial t ( t, t^2, t^3 ) + partialpartial t ( u a^prime(t) ) = a^prime(t) + u a^primeprime(t)
Vamos calcular a^primeprime(t) :
a^primeprime(t) = ( ddt 1, ddt 2t, ddt 3t^2 ) = (0, 2, 6t)
Então:
Xt = (1, 2t, 3t^2) + u (0, 2, 6t) = (1, 2t + 2u, 3t^2 + 6ut)

Passo 4

Agora, precisamos verificar se Xu e Xt são linearmente independentes. Para isso, calculamos o produto vetorial entre eles e verificamos se não é o vetor nulo.
Vamos calcular Xu times Xt :
Xu times Xt = i & j & k 1 & 2t & 3t^2 1 & 2t + 2u & 3t^2 + 6ut
= i ( (2t)(3t^2 + 6ut) - (3t^2)(2t + 2u) ) - j ( (1)(3t^2 + 6ut) - (3t^2)(1) ) + k ( (1)(2t + 2u) - (2t)(1) )
Simplificando cada componente:
  • Componente i :
(2t)(3t^2 + 6ut) - (3t^2)(2t + 2u) = 6t^3 + 12ut^2 - 6t^3 - 6ut^2 = 6ut^2
  • Componente j :
(1)(3t^2 + 6ut) - (3t^2)(1) = 3t^2 + 6ut - 3t^2 = 6ut
  • Componente k :
(1)(2t + 2u) - (2t)(1) = 2t + 2u - 2t = 2u
Então:
Xu times Xt = (6ut^2) i - (6ut) j + (2u) k
= (6ut^2, -6ut, 2u)
Agora, para que os vetores sejam linearmente independentes, o produto vetorial não pode ser o vetor nulo. Observamos que u > 0 , então cada componente depende de u e t . A menos que u = 0 (o que não é o caso), o vetor resultante não é nulo.

Resposta

Como o produto vetorial Xu times Xt não é vetor nulo para u > 0 , os vetores Xu e Xt são linearmente independentes. Portanto, a aplicação X(u, t) = a(t) + u a^prime(t) é uma superfície regular.

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