Determine a sequência an, onde:
tildea(z)=z^3(z^2-2 z+2)(z-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora (Z-transform)
tildea(z)=z^3(z-1)(z^2-2z+2)
e pede a sequência an correspondente. Vamos inverter o Z-transform usando divisão de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Primeiro dividimos
z^3divl((z-1)(z^2-2z+2)r)
Como (z-1)(z^2-2z+2)=z^3-3z^2+4z-2, temos
z^3 = 1cdotl(z^3-3z^2+4z-2r) + (3z^2-4z+2)
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tildea(z) =1 ;+;3z^2-4z+2(z-1)(z^2-2z+2)

Passo 3

Fazemos frações parciais em
3z^2-4z+2(z-1)(z^2-2z+2) =Az-1+B,z+Cz^2-2z+2
Multiplicando e igualando coeficientes obtemos
A=1, B=2, C=0
Então
tildea(z) =1 + 1z-1 + 2,zz^2-2z+2

Passo 4

Agora invertemos cada termo sabendo que para |z|> raiz2:
  1. 1 corresponde a de<a[n], ou seja, vale 1 se n=0 e 0 caso contrário.
  2. dfrac1z-1=sumn=1^inftyz^-n inverte para u[n-1], ou seja 1 para n>=1.
  3. Para 2zz^2-2z+2 =1-jz-(1+j)+1+jz-(1-j), cada polo gera um termo l(1pm jr)^,n-1 para n>=1. Somando e usando
    ,1pm j=raiz2,e^pm jpi/4, chega-se a b[n]=2,(raiz2)^ncos!l((n-2)tfracpi4r) (n>=1), b[0]=0

Passo 5

Somando todas as contribuições temos para n>=0:
an =de<a[n] + u[n-1] + b[n]
Verifica-se que isso equivale à forma fechada
an =1 + 2,(raiz2)^,ncos!l((n-2)tfracpi4r)
E, usando a identidade cos!l(ntfracpi4-tfracpi2r)=sin!l(ntfracpi4r), obtemos a forma mais elegante:

Resposta

boxedan ;=;1 ;+;2,(raiz2)^,n,sin!l(ntfracpi4r), n>=0

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