Considere curva
. Verifique que a aplicação
,
, é uma superficie regular.
Passo 1
O enunciado define a curva
dada por
e, em seguida, a aplicação
Queremos mostrar que
é uma superfície regular, ou seja, que é suave e que as derivadas parciais
e
são linearmente independentes em todo o domínio.
Passo 2
Note que
é polinomial em
, logo
e
são funções
. Como
é combinação polinomial de
,
,
e
, concluímos que
é
em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro
Em seguida, usando
,
Passo 4
Para verificar a independência linear, calculamos o produto vetorial
Como
u>0 , este vetor é não nulo, o que garante que
partialuX e
partialtX são linearmente independentes em todo o domínio.
Resposta
A aplicação
X(u,t)=sigma(t)+u,sigma'(t)
éC^infty e satisfaz
partialuXtimespartialtXneq0 para todo
u>0 , logo é uma superfície regular.
é