Considere curva sigma(t)=(t, t^2, t^2), com t in R. Verifique que a aplicação
X(u, t)=sigma(t)+u sigma^prime(t)
, u in(0, infty), é uma superficie regular.

Passo 1

O enunciado define a curva sigmacolon RtoR^3 dada por
sigma(t) = (t,;t^2,;t^2)
e, em seguida, a aplicação
X(u,t) ;=;sigma(t) + u,sigma'(t), uin(0,infty),;tinR
Queremos mostrar que X é uma superfície regular, ou seja, que é suave e que as derivadas parciais partialuX e partialtX são linearmente independentes em todo o domínio.

Passo 2

Note que sigma é polinomial em t, logo sigma e sigma' são funções C^infty. Como X(u,t) é combinação polinomial de u, t, sigma(t) e sigma'(t), concluímos que X é C^infty em (u,t).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de X. Primeiro
partialuX(u,t) =sigma'(t) =(1,;2t,;2t)
Em seguida, usando sigma''(t)=(0,2,2),
partialtX(u,t) =sigma'(t)+u,sigma''(t) =(1,2t,2t)+u,(0,2,2) =(1,;2(t+u),;2(t+u))

Passo 4

Para verificar a independência linear, calculamos o produto vetorial
partialuXtimespartialtX =det e1 & e2 & e3 1 & 2t & 2t 1 & 2(t+u) & 2(t+u) =(0,,-2u,;2u)
Como u>0, este vetor é não nulo, o que garante que partialuX e partialtX são linearmente independentes em todo o domínio.

Resposta

A aplicação
X(u,t)=sigma(t)+u,sigma'(t)
é C^infty e satisfaz partialuXtimespartialtXneq0 para todo u>0, logo é uma superfície regular.

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