Considere as curvas
e
. Qual o volume do sólido gerado pela rotação sobre o eixo
da região delimitada pelas curvas dadas acima e sob o intervalo
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
, no intervalo de
de 0 a 1. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o método dos discos para volumes de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que formam a região. Temos
e
. É importante saber qual delas está por cima no intervalo de 0 a 1, porque isso vai influenciar na configuração da nossa integral.
Passo 3
Vamos verificar qual função é maior entre 0 e 1:
- Para
: -
- Para
: -
- Vamos escolher um valor no meio, digamos
: -
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, para calcular o volume do sólido gerado pela rotação, usamos a fórmula do método dos discos:
Onde:
-
é a função de cima ( ) -
é a função de baixo ( ) -
e são os limites de integração (0 e 1)
Passo 5
Vamos substituir as funções na fórmula:
Simplificando as potências:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é:
Passo 8
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.