Considere as curvas y=raizx e y=x^3. Qual o volume do sólido gerado pela rotação sobre o eixo x da região delimitada pelas curvas dadas acima e sob o intervalo [0,1] ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pelas curvas y = raizx e y = x^3 em torno do eixo x , no intervalo de x de 0 a 1. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o método dos discos para volumes de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que formam a região. Temos y = raizx e y = x^3 . É importante saber qual delas está por cima no intervalo de 0 a 1, porque isso vai influenciar na configuração da nossa integral.

Passo 3

Vamos verificar qual função é maior entre 0 e 1:
  • Para x = 0 :
    • raiz0 = 0
    • 0^3 = 0
  • Para x = 1 :
    • raiz1 = 1
    • 1^3 = 1
  • Vamos escolher um valor no meio, digamos x = 0.5 :
    • raiz0.5 approx 0.707
    • (0.5)^3 = 0.125
Então, y = raizx está acima de y = x^3 nesse intervalo.

Passo 4

Agora, para calcular o volume do sólido gerado pela rotação, usamos a fórmula do método dos discos:
V = pi integrala^b [ (f(x))^2 - (g(x))^2 ] dx
Onde:
  • f(x) é a função de cima ( raizx )
  • g(x) é a função de baixo ( x^3 )
  • a e b são os limites de integração (0 e 1)

Passo 5

Vamos substituir as funções na fórmula:
V = pi integral0^1 [ (raizx)^2 - (x^3)^2 ] dx
Simplificando as potências:
(raizx)^2 = x (x^3)^2 = x^6
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 ( x - x^6 ) dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral x , dx = 12x^2 integral x^6 , dx = 17x^7
Substituindo na integral:
V = pi [ 12x^2 - 17x^7 ]0^1

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites:
Para x = 1 :
12(1)^2 - 17(1)^7 = 12 - 17
Para x = 0 :
12(0)^2 - 17(0)^7 = 0
Então, a diferença é:
( 12 - 17 ) - 0 = 12 - 17 = 714 - 214 = 514

Passo 8

Multiplicando pelo pi :
V = pi times 514 = 5pi14

Resposta

O volume do sólido é 5pi14 unidades cúbicas.

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