Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto
dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
no ponto
. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente do tema de derivadas usando a definição. Pra isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função num ponto nos diz a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Usando a definição, a derivada de
em
é dada por:
No nosso caso,
e
. Então, vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 3
Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos calcular esse limite. Para facilitar, vamos usar a expansão de binômio para potências fracionárias, que nos ajuda a expandir
quando
é muito pequeno.
Passo 4
A expansão de binômio para
, onde
é uma constante, é:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Passo 6
Simplificando a fração:
Agora, o limite de uma constante é a própria constante. Portanto:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.