Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=raiz[5]x, x0=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = raiz[5]x no ponto x0 = 1 . Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente do tema de derivadas usando a definição. Pra isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função num ponto nos diz a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Usando a definição, a derivada de f(x) em x0 é dada por:
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h
No nosso caso, f(x) = raiz[5]x = x^1/5 e x0 = 1 . Então, vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Substituindo na fórmula, temos:
f'(1) = limh to 0 (1 + h)^1/5 - 1h
Agora, precisamos calcular esse limite. Para facilitar, vamos usar a expansão de binômio para potências fracionárias, que nos ajuda a expandir (1 + h)^1/5 quando h é muito pequeno.

Passo 4

A expansão de binômio para (1 + h)^k , onde k é uma constante, é:
(1 + h)^k approx 1 + k cdot h quando h é pequeno é
No nosso caso, k = 15 , então:
(1 + h)^1/5 approx 1 + 15 h

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
f'(1) = limh to 0 (1 + 15 h) - 1h = limh to 0 15 hh

Passo 6

Simplificando a fração:
15 hh = 15
Agora, o limite de uma constante é a própria constante. Portanto:
f'(1) = 15

Resposta

A derivada de f(x) = raiz[5]x no ponto x0 = 1 é 15 .

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