Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto
dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 8} $ no ponto $ x_{0} = -1 $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender a definição básica de derivada e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ x_{0} $ é o limite, quando $ h $ se aproxima de 0, da razão entre a variação da função e a variação da variável. Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 8} $ no ponto $ x_{0} = -1 $. Primeiro, substituímos $ x_{0} $ na fórmula:
Passo 4
Calculando $ f(-1 + h) $ e $ f(-1) $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 6
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada:
Passo 7
Simplificando o numerador usando a diferença de quadrados:
Passo 8
Cancelando o $ h $ no numerador e denominador:
Passo 9
Agora, substituímos $ h = 0 $ na expressão:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 8} $ no ponto $ x_{0} = -1 $ é $ f’(-1) = -\frac{1}{3} $.