Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=raizx^2+8, x0=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 8} $ no ponto $ x_{0} = -1 $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender a definição básica de derivada e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ x_{0} $ é o limite, quando $ h $ se aproxima de 0, da razão entre a variação da função e a variação da variável. Matematicamente, isso fica:
f

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 8} $ no ponto $ x_{0} = -1 $. Primeiro, substituímos $ x_{0} $ na fórmula:
f(x) = raizx^2 + 8

Passo 4

Calculando $ f(-1 + h) $ e $ f(-1) $:
f(-1 + h)
f(-1)

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(-1) = limh to 0 raizh^2 - 2h + 9 - 3h

Passo 6

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada:
f'(-1) = limh to 0 raizh^2 - 2h + 9 - 3h cdot raizh^2 - 2h + 9 + 3raizh^2 - 2h + 9 + 3

Passo 7

Simplificando o numerador usando a diferença de quadrados:
f'(-1) = limh to 0 (h^2 - 2h + 9) - 9h (raizh^2 - 2h + 9 + 3) = limh to 0 h^2 - 2hh (raizh^2 - 2h + 9 + 3)

Passo 8

Cancelando o $ h $ no numerador e denominador:
h

Passo 9

Agora, substituímos $ h = 0 $ na expressão:
h = 0

Resposta

A derivada de $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 8} $ no ponto $ x_{0} = -1 $ é $ f’(-1) = -\frac{1}{3} $.

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