Considere as curvas
e
. Esboce seus gráficos, determine seus pontos de intereseção e calcule a área da região limitada por tais curvas.
Passo 1
Beleza, temos aqui duas curvas para analisar: a parábola
e a reta
. O conteúdo envolvido é o estudo de gráficos de funções, busca dos pontos onde elas se cruzam (interseção) e cálculo da área da região que elas delimitam. Para resolver, vamos precisar desenhar as curvas, encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações e, por fim, calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Vamos começar desenhando as curvas para entender melhor como elas se comportam.
-
Parábola
: - Essa é uma parábola que abre para os lados, já que o termo
está isolado. - O vértice está em
, pois quando , . - À medida que
aumenta ou diminui, também aumenta.
- Essa é uma parábola que abre para os lados, já que o termo
-
Reta
: - Podemos rearranjar para a forma
ou simplificando, . - Isso nos dá a inclinação da reta (
) e o intercepto no eixo ( ).
- Podemos rearranjar para a forma
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações formado pelas duas curvas:
Primeiro, substituímos
da primeira equação na segunda:
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas soluções reais:
Assim:
Agora, encontramos os valores correspondentes de
usando
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são:
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas. Para isso, precisamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo de integração.
Observando as equações:
Vamos expressar
em termos de
para facilitar a integração vertical.
Para
:
A reta dá
.
A parábola dá
.
A área
está entre essas duas curvas, então:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada termo:
Assim, a integral definida é:
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo os dois resultados, obtemos a área
.
Passo 6
Vamos simplificar os cálculos:
Para
:
Para
:
Agora, calculamos a diferença:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente
unidades quadradas.