Considere as curvas x = 4 y^2 - 1 e 8x - 6y + 3 = 0. Esboce seus gráficos, determine seus pontos de intereseção e calcule a área da região limitada por tais curvas.

Passo 1

Beleza, temos aqui duas curvas para analisar: a parábola e a reta . O conteúdo envolvido é o estudo de gráficos de funções, busca dos pontos onde elas se cruzam (interseção) e cálculo da área da região que elas delimitam. Para resolver, vamos precisar desenhar as curvas, encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações e, por fim, calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Vamos começar desenhando as curvas para entender melhor como elas se comportam.
  • Parábola :
    • Essa é uma parábola que abre para os lados, já que o termo está isolado.
    • O vértice está em , pois quando , .
    • À medida que aumenta ou diminui, também aumenta.
  • Reta :
    • Podemos rearranjar para a forma ou simplificando, .
    • Isso nos dá a inclinação da reta ( ) e o intercepto no eixo ( ).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações formado pelas duas curvas:
Primeiro, substituímos da primeira equação na segunda:
Essa é uma equação quadrática em . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas soluções reais:
Assim:
Agora, encontramos os valores correspondentes de usando :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são:

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas. Para isso, precisamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo de integração.
Observando as equações:
á
Vamos expressar em termos de para facilitar a integração vertical.
Para :
A reta dá .
A parábola dá .
A área está entre essas duas curvas, então:
á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada termo:
Assim, a integral definida é:
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo os dois resultados, obtemos a área .

Passo 6

Vamos simplificar os cálculos:
Para :
Para :
Agora, calculamos a diferença:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente unidades quadradas.

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