Para quais valores de m a reta
e a curva
limitam uma região. Encontre a área dessa região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de
a reta
e a curva
formam uma região fechada. Depois, queremos calcular a área dessa região. Aqui, vamos precisar usar conceitos de interseção de funções e cálculo de integrais para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a reta e a curva se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Como
(pois em
ambas dão
), podemos dividir os dois lados por
:
Passo 3
Agora, vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, isolando
:
Para que
seja um número real, o lado direito precisa ser maior ou igual a zero:
Então, os valores possíveis para
são aqueles onde
está entre -1 e 1.
Passo 4
Vamos agora calcular a área da região limitada pelas duas funções. Sabemos que as interseções ocorrem simetricamente em relação à origem, então podemos calcular a área de um lado e multiplicar por 2.
Primeiro, encontramos os pontos de interseção
:
A área
será então:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Primeiro, separamos a integral:
Resolva cada integral:
-
Para
, fazemos a substituição , então , e a integral fica . -
Para
, é simples: .
Então, substituindo os limites:
Calculando:
Simplificando:
Substituindo
:
Resposta
A área da região limitada pela reta
e pela curva
é:
Isso é válido para todo
no intervalo
.