Para quais valores de m a reta y = m x e a curva y = x / raiz(x^2 + 1) limitam uma região. Encontre a área dessa região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de a reta e a curva formam uma região fechada. Depois, queremos calcular a área dessa região. Aqui, vamos precisar usar conceitos de interseção de funções e cálculo de integrais para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a reta e a curva se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Como (pois em ambas dão ), podemos dividir os dois lados por :

Passo 3

Agora, vamos isolar :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, isolando :
Para que seja um número real, o lado direito precisa ser maior ou igual a zero:
Então, os valores possíveis para são aqueles onde está entre -1 e 1.

Passo 4

Vamos agora calcular a área da região limitada pelas duas funções. Sabemos que as interseções ocorrem simetricamente em relação à origem, então podemos calcular a área de um lado e multiplicar por 2.
Primeiro, encontramos os pontos de interseção :
A área será então:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Primeiro, separamos a integral:
Resolva cada integral:
  1. Para , fazemos a substituição , então , e a integral fica .
  2. Para , é simples: .
Então, substituindo os limites:
Calculando:
Simplificando:
Substituindo :

Resposta

A área da região limitada pela reta e pela curva é:
Isso é válido para todo no intervalo .

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