Seja S a união do cilindro x^2+y^2=1,0 <= z <= 1, com a porção do plano z=0, x^2+y^2 <= 1 orientada com vetor normal exterior, e seja F(x, y, z)=(z x+z^2 y+x, z^3 y x+y, z^4 x^2). Calcule integral duplaR(rot F cdot n) d S Usando o Teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a integral de superfície de um campo vetorial usando o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá um cilindro entre e , juntamente com a base do cilindro no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr sobre uma superfície com a integral de linha de ao redor da borda de . A fórmula do Teorema de Stokes é:
Isso significa que, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda da superfície, o que geralmente é mais fácil.

Passo 3

Vamos identificar a borda da nossa superfície . Nosso cilindro tem duas bases: uma no plano e outra no plano . No entanto, a base no não está inclusa no enunciado, então a borda é apenas o contorno da base inferior , que é o círculo no plano .

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar essa curva x = cos theta, y = sin theta, z = 0 onde 0 <= theta <= 2pi . Como é um círculo de raio 1 no plano dr = ( -sin theta, cos theta, 0 ) dtheta , podemos usar coordenadas polares:
O vetor diferencial de posição é então:

Passo 5

Vamos avaliar o campo vetorial F = (0 cdot cos theta + 0^2 cdot sin theta + cos theta, 0^3 cdot sin theta cdot cos theta + sin theta, 0^4 cdot cos^2 theta ) = ( cos theta, sin theta, 0 ) ao longo dessa curva. Substituindo , , e na função :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = (cos theta)(- sin theta) + (sin theta)(cos theta) + (0)(0) = -cos theta sin theta + cos theta sin theta = 0 :

Passo 7

A integral de linha fica:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi 0 , dtheta = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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