Seja
a união do cilindro
, com a porção do plano
orientada com vetor normal exterior, e seja
. Calcule
Usando o Teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a integral de superfície de um campo vetorial
usando o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá um cilindro
entre
e
, juntamente com a base do cilindro no plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
com a integral de linha de
ao redor da borda de
. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Isso significa que, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda da superfície, o que geralmente é mais fácil.
Passo 3
Vamos identificar a borda
da nossa superfície
. Nosso cilindro tem duas bases: uma no plano
e outra no plano
. No entanto, a base no
não está inclusa no enunciado, então a borda
é apenas o contorno da base inferior
, que é o círculo
no plano
.
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar essa curva
. Como é um círculo de raio 1 no plano
, podemos usar coordenadas polares:
O vetor diferencial de posição
é então:
Passo 5
Vamos avaliar o campo vetorial
ao longo dessa curva. Substituindo
,
, e
na função
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
A integral de linha fica:
Resposta
O valor da integral
é 0.