Desenhe as curvas de nível da função f f(x, y) = log_x(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenharmos as curvas de nível da função . Isso envolve entender um pouco de funções logarítmicas e como elas se comportam no plano . Para resolver, vamos precisar lembrar o que são curvas de nível e como manipular logaritmos com diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo , temos . Nossa missão é encontrar uma relação entre e que satisfaça essa equação para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos reescrever a equação de uma forma mais amigável. Sabemos que é equivalente a . Aplicando isso à nossa equação:
Então, para cada , a curva de nível é definida por .

Passo 4

Agora, vamos analisar diferentes valores de para ver como as curvas se comportam:
  • Se : Temos , que é uma reta passando pela origem com inclinação 45 graus.
  • Se : A curva é , que é uma parábola.
  • Se : A curva fica , que é uma hipérbole.
  • Se : Temos , que é uma linha horizontal no .

Passo 5

Vamos resumir:
  • Curvas para : São potências de , variando de linhas retas a parábolas, dependendo do valor de .
  • Curvas para : São hipérboles, pois é inversamente proporcional a .
  • Curva para : É uma linha horizontal constante em .
Essas diferentes curvas mostram como a função se comporta no plano para diferentes valores de .

Resposta

As curvas de nível da função são dadas por para diferentes valores de . Dependendo de , essas curvas podem ser retas, parábolas ou hipérboles, além de uma linha horizontal quando .

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