Desenhe as curvas de nível da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenharmos as curvas de nível da função
. Isso envolve entender um pouco de funções logarítmicas e como elas se comportam no plano
. Para resolver, vamos precisar lembrar o que são curvas de nível e como manipular logaritmos com diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
assume um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo
, temos
. Nossa missão é encontrar uma relação entre
e
que satisfaça essa equação para diferentes valores de
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação
de uma forma mais amigável. Sabemos que
é equivalente a
. Aplicando isso à nossa equação:
Então, para cada
, a curva de nível é definida por
.
Passo 4
Agora, vamos analisar diferentes valores de
para ver como as curvas se comportam:
- Se
: Temos , que é uma reta passando pela origem com inclinação 45 graus. - Se
: A curva é , que é uma parábola. - Se
: A curva fica , que é uma hipérbole. - Se
: Temos , que é uma linha horizontal no .
Passo 5
Vamos resumir:
- Curvas para
: São potências de , variando de linhas retas a parábolas, dependendo do valor de . - Curvas para
: São hipérboles, pois é inversamente proporcional a . - Curva para
: É uma linha horizontal constante em .
Essas diferentes curvas mostram como a função
se comporta no plano
para diferentes valores de
.
Resposta
As curvas de nível da função
são dadas por
para diferentes valores de
. Dependendo de
, essas curvas podem ser retas, parábolas ou hipérboles, além de uma linha horizontal quando
.