Desenhe as curvas de nível da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenharmos as curvas de nível da função
. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Para isso, vamos precisar trabalhar com funções de duas variáveis e entender como representar graficamente essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Se fixarmos um valor
para a função
, temos a equação:
Então, substituindo a função:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
em função de
(ou vice-versa) para facilitar o desenho das curvas. Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem
:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Esta é a equação das curvas de nível para diferentes valores de
.
Passo 6
Vamos analisar a forma dessa equação. Para cada valor de
, a equação
representa uma parábola invertida aberta para cima. À medida que
aumenta, a parábola se aproxima mais do eixo
e se estreita.
Passo 7
Para desenhar as curvas de nível, podemos escolher alguns valores de
, por exemplo,
,
,
, etc., e plotar as correspondentes curvas
no plano
.
Resposta
As curvas de nível da função
são dadas por:
para diferentes valores de
. Cada valor de
gera uma parábola invertida que pode ser desenhada no plano
, representando assim as diferentes curvas de nível da função.