Faça o que é pedido em cada item:
(d) Use o item (c) para calcular a soma da série numérica
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}
A soma dessa série numérica também pode ser obtida de outra forma muito mais fácil. Faça de um outro jeito mais fácil (Dica: série telescópica).

Passo 1

O enunciado pede calcular a soma da série numérica
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^{2}-1}
de duas maneiras: (i) usando o resultado já obtido no item (c) e (ii) por um método mais fácil, explorando uma série telescópica.

Passo 2

Pelo item (c) já se concluiu que
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^{2}-1} \;=\;\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora vamos ao método telescópico. Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{4n^{2}-1} =\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).
Somando de n=1 até n=N,
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{4n^{2}-1} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr) =\frac{1}{2}\Bigl(1-\frac{1}{2N+1}\Bigr).
Fazendo N\to\infty, o termo \tfrac1{2N+1} vai a zero, e obtemos
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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