Um processo automático de enchimento de frascos deve garantir um volume entre \mathrm{LSE}=505 ml e LIE =495 \mathrm{ml}. A produção é monitorada por amostragens de \mathbf{5} frascos a cada \mathbf{3 0}
minutos. A partir de 20 amostras, obteve-se:
Média global: \bar{X}=499,2 \mathrm{~mL}
Média das amplitudes: \bar{R}=4,1
Note que nesse exemplo, usamos dados de controle estatístico do gráfico R para estimar a variabilidade real do processo. Mesmo sem conhecer o desvio-padrão populacional, conseguimos calcular o Cpk estimado. Sendo assim, estime o desvio-padrão do processo e calcule o índice de capacidade real \hat{C}_{p k}. Compare com Cp .

Passo 1

O enunciado pede que a gente: (1) estime o desvio-padrão do processo usando o gráfico R (foi dada a média das amplitudes), (2) calcule o índice de capacidade real \hat{C}_{pk} e (3) compare com C_p.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Tamanho das amostras: n=5.
  • Número de amostras: 20 (só para indicar que \bar{R} foi calculada com bastante amostras).
  • Média global do processo: \bar{X}=499{,}2\\ \mathrm{mL}.
  • Média das amplitudes: \bar{R}=4{,}1.
  • Limites de especificação: LIE =495\\ \mathrm{mL} (limite inferior) e LSE =505\\ \mathrm{mL} (limite superior).
  • Obs.: vamos usar a relação entre \bar{R} e o desvio-padrão do processo via a constante d_2 do gráfico R.

Passo 2

Entender como estimar o desvio-padrão a partir de \bar{R}.
Explicação didática: quando tiramos amostras de tamanho n e calculamos a amplitude R de cada amostra, existe uma constante conhecida d_2 (que depende só de n) tal que a média das amplitudes \bar{R} está relacionada com o desvio-padrão real \sigma pela fórmula:
\hat{\sigma} = \frac{\bar{R}}{d_2}.
Aqui \hat{\sigma} é o estimador de \sigma baseado em amplitudes, \bar{R} é a média das amplitudes das amostras e d_2 é uma constante tabulada (vem da teoria das amplitudes para amostras aleatórias).
Para n=5 a tabela padrão dá d_2 \approx 2{,}326. Isso é um valor fixo encontrado em tabelas de controle de qualidade (não precisa derivar na prova, é uma tabela que se decorou ou consultou).

Passo 3

Aplicar a fórmula para estimar \sigma.
Substituindo \bar{R}=4{,}1 e d_2=2{,}326 na fórmula:
\hat{\sigma}=\frac{4{,}1}{2{,}326}.
Fazendo a divisão:
\hat{\sigma}\approx 1{,}762\\ \mathrm{mL}.
Explicação simples: arredondei para três casas decimais; na prática duas casas decimais já bastam ( 1{,}76\\ \mathrm{mL}).

Passo 4

Definir C_p e calcular C_p.
A definição didática: C_p mede apenas a dispersão do processo em relação à largura de especificação, assumindo que o processo está centrado. A fórmula é:
C_p = \frac{\text{LSE} - \text{LIE}}{6\sigma}.
Aqui \text{LSE} é o limite superior de especificação, \text{LIE} é o limite inferior, e \sigma é o desvio-padrão do processo (aqui usamos \hat{\sigma} estimado).
Substituindo \text{LSE}-\text{LIE}=505-495=10 e \hat{\sigma}\approx 1{,}762:
C_p = \frac{10}{6\cdot 1{,}762} = \frac{10}{10{,}572} \approx 0{,}946.
Interpretação curta: C_p<1 indica que a largura natural do processo (6σ) é maior que a largura de especificação — ou seja, mesmo centrado, o processo seria incapaz de atender perfeitamente às especificações.

Passo 5

Definir \hat{C}_{pk} e calcular \hat{C}_{pk}.
Explicação didática: C_{pk} leva em conta tanto a dispersão quanto o centramento do processo. Ele é o mínimo entre a capacidade em relação ao limite superior ( C_{pu}) e em relação ao limite inferior ( C_{pl}):
C_{pu}=\frac{\text{LSE}-\bar{X}}{3\sigma},\qquad C_{pl}=\frac{\bar{X}-\text{LIE}}{3\sigma},\qquad C_{pk}=\min(C_{pu},C_{pl}).
Aqui \bar{X} é a média do processo e \sigma é o desvio-padrão (usaremos \hat{\sigma}).
Calculemos as distâncias da média aos limites:
\text{LSE}-\bar{X}=505-499{,}2=5{,}8,
\bar{X}-\text{LIE}=499{,}2-495=4{,}2.
Agora calcule C_{pu} e C_{pl} usando 3\hat{\sigma}=3\cdot 1{,}762=5{,}286:
C_{pu}=\frac{5{,}8}{5{,}286}\approx 1{,}097,
C_{pl}=\frac{4{,}2}{5{,}286}\approx 0{,}795.
Portanto
\hat{C}_{pk}=\min(1{,}097,\;0{,}795)=0{,}795.

Passo 6

Interpretação e comparação entre \hat{C}_{pk} e C_p.
  • Valores numéricos obtidos:
    \hat{\sigma}\approx 1{,}762\\ \mathrm{mL},
    C_p\approx 0{,}946,
    \hat{C}_{pk}\approx 0{,}795.
  • Comparação: \hat{C}_{pk}<C_p. Isso significa que a perda de capacidade observada é principalmente devido ao deslocamento (o processo não está perfeitamente centrado). Aqui a média \bar{X}=499{,}2 está abaixo do ponto médio da especificação (500), logo o lado inferior é o mais crítico (isto é confirmado por C_{pl}<C_{pu}).
  • Interpretação prática: com \hat{C}_{pk}\approx 0{,}795<1, o processo não está atendendo bem às especificações (há uma fração significativa fora dos limites). Para melhorar, você pode reduzir a variabilidade (diminuir \sigma) ou recentrar a média para 500 (ou ambos).
Força moral: tá tudo certo — você já tem o caminho para mostrar na prova: usar \bar{R} e d_2 para \hat\sigma, depois aplicar fórmulas de C_p e C_{pk}. Respira, faz devagar e resolve passo a passo como fiz aqui.

Resposta

\hat{\sigma}\approx 1{,}762\\ \mathrm{mL}
C_p\approx 0{,}946
\hat{C}_{pk}\approx 0{,}795 (portanto \hat{C}_{pk}<C_p; o processo está deslocado para baixo e a capacidade real é menor que a capacidade teórica C_p).

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