Considere alpha:(-1,1) longrightarrow R^3 dada por alpha(s)=((1+s)^3 / 23, (1-s)^3 / 23, sraiz2).
Encontre os vetores T(s), N(s) e B(s).

Passo 1

O enunciado define a curva
alpha(s)=l(tfrac(1+s)^3/23,,tfrac(1-s)^3/23,,tfracsraiz2r)
e pede os vetores de Frenet T(s), N(s) e B(s). Como está parametrizada por comprimento de arco (vamos verificar), basta usar
T(s)=alpha'(s),
N(s)= T'(s)/| T'(s)| e
B(s)= T(s)times N(s).

Passo 2

Calculamos alpha'(s).
Para a primeira componente:
ddsl(tfrac(1+s)^3/23r) =tfrac32,tfrac(1+s)^1/23 =tfracraiz1+s2
Para a segunda:
ddsl(tfrac(1-s)^3/23r) =-tfrac32,tfrac(1-s)^1/23 =-tfracraiz1-s2
Para a terceira:
ddsl(tfracsraiz2r) =tfrac1raiz2
Logo
alpha'(s)=l(tfracraiz1+s2,,-tfracraiz1-s2,,tfrac1raiz2r)
Calculando |alpha'(s)|^2=tfrac1+s4+tfrac1-s4+tfrac12=1, confirmamos que alpha é unitária e, portanto,
T(s)=alpha'(s).

Passo 3

Logo o vetor tangente unitário é
T(s) =l(tfracraiz1+s2,,-tfracraiz1-s2,,tfrac1raiz2r)

Passo 4

Agora derivamos T(s):
T'(s) =l(tfrac14raiz1+s,,tfrac14raiz1-s,,0r)
A curvatura é
kappa(s)=| T'(s)| =14raiz11+s+11-s =raiz24raiz1-s^2

Passo 5

O vetor normal principal é
N(s) = T'(s)kappa(s) =l(raiztfrac1-s2,,raiztfrac1+s2,,0r)

Passo 6

Finalmente, o binormal é
B(s) = T(s)times N(s) =l(-tfracraiz1+s2,,tfracraiz1-s2,,tfrac1raiz2r)

Resposta

T(s)=l(tfracraiz1+s2,,-tfracraiz1-s2,,tfrac1raiz2r),
N(s)=l(raiztfrac1-s2,,raiztfrac1+s2,,0r),
B(s)=l(-tfracraiz1+s2,,tfracraiz1-s2,,tfrac1raiz2r)

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