A curva
dada por
está parametrizada pelo comprimento de arco ? A curva
é plana? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede duas coisas: (i) verificar se
é parâmetro pelo comprimento de arco (isto é,
); (ii) testar se a curva é plana (por exemplo, encontrando uma equação de plano que a contenha).
Passo 2
Calculemos a derivada componente a componente:
Passo 3
Agora avaliamos o quadrado da norma:
Logo
e
é realmente o comprimento de arco.
Passo 4
Para ver que
é planar, note que as componentes
e
satisfazem
Isso significa que todos os pontos
estão contidos no plano de equação
Portanto a curva é plana.
Resposta
A parametrização está feita por comprimento de arco (
) e a curva é plana, pois todo ponto satisfaz
.