A curva alpha: R longrightarrow R^3 dada por alpha(s)=(513 cos (s), 1813-sen(s),-1213 cos (s)) está parametrizada pelo comprimento de arco ? A curva alpha é plana? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a curva
alpha(s)=l(tfrac513cos(s),;tfrac1813-sen(s),;-tfrac1213cos(s)r)
e pede duas coisas: (i) verificar se s é parâmetro pelo comprimento de arco (isto é, |alpha'(s)|=1); (ii) testar se a curva é plana (por exemplo, encontrando uma equação de plano que a contenha).

Passo 2

Calculemos a derivada componente a componente:
alpha'(s) =l(-tfrac513sen(s),;-cos(s),;tfrac1213sen(s)r)

Passo 3

Agora avaliamos o quadrado da norma:
|alpha'(s)|^2 =l(-tfrac513sen(s)r)^2 +l(-cos(s)r)^2 +l(tfrac1213sen(s)r)^2 =25+144169sen^2(s)+cos^2(s) =sen^2(s)+cos^2(s) =1
Logo |alpha'(s)|=1 e s é realmente o comprimento de arco.

Passo 4

Para ver que alpha(s) é planar, note que as componentes x=tfrac513cos(s) e z=-tfrac1213cos(s) satisfazem
12,x+5,z =12cdot513cos(s)+5cdotl(-1213cos(s)r) =0 para todo (s)
Isso significa que todos os pontos alpha(s) estão contidos no plano de equação
12,x+5,z=0
Portanto a curva é plana.

Resposta

A parametrização está feita por comprimento de arco ( |alpha'(s)|=1) e a curva é plana, pois todo ponto satisfaz 12x+5z=0.

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