Determine se a afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F). Explique sua resposta.
( ) Ao completar o quadrado na equação x^2-5 y^2-2 x-10 y-9=0, identificamos que a equação representa uma parábola.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2-5y^2-2x-10y-9=0
e pergunta se ela representa uma parábola ao completarmos o quadrado. Aqui o conteúdo é classificação de cônicas por meio do discriminante e de sua forma padrão obtida por completamento de quadrado.

Passo 2

Vamos agrupar os termos em x e em y e completar o quadrado:
x^2-2x;-;5l(y^2+2yr);-;9=0
Dentro de cada parêntese:
x^2-2x = (x-1)^2-1,
y^2+2y = (y+1)^2-1
Substituindo,
l[(x-1)^2-1r];-;5l[(y+1)^2-1r];-;9=0

Passo 3

Distribuindo e simplificando:
(x-1)^2-1 ;-;5(y+1)^2+5 ;-;9=0
Longrightarrow (x-1)^2-5(y+1)^2 -5 =0
Longrightarrow (x-1)^2-5(y+1)^2 =5
Longrightarrow (x-1)^25 ;-;(y+1)^2 =1,
que é claramente a forma padrão de uma hipérbole.

Passo 4

Podemos também usar o discriminante da cônica Ax^2+Bxy+Cy^2+cdots=0, que é De<a = B^2-4AC. Aqui A=1, B=0, C=-5, logo
De<a = 0^2 -4cdot1cdot(-5)=20>0,
o que caracteriza uma hipérbole (não uma parábola, que ocorreria se De<a=0).

Resposta

F

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