(3,0 pontos)
a) Calcule o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}},
caso exista. (Dica: Use os caminhos C_{1}:(x, y)=(x, 0) e C_{2}:(x, y)=(x, x).)
b) Verifique se a função f a seguir é contínua em ( 0,0 ):
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede dois pontos: primeiro, calcular o limite de
\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0), usando caminhos diferentes; segundo, verificar a continuidade da função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 1,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O conteúdo necessário é limite de função de duas variáveis e o critério de continuidade via limite.

Passo 2

Analisamos o caminho C_{1}\colon (x,y)=(x,0). Substituindo em \frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} temos
\frac{x\cdot0}{x^{2}+x\cdot0+0^{2}} =\frac{0}{x^{2}} =0,\quad x\neq0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop (x,y)\in C_{1}} \frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} =0.

Passo 3

Analisamos o caminho C_{2}\colon (x,y)=(x,x). Substituindo,
\frac{x\cdot x}{x^{2}+x\cdot x+x^{2}} =\frac{x^{2}}{3x^{2}} =\frac{1}{3},\quad x\neq0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop (x,y)\in C_{2}} \frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} =\frac{1}{3}.

Passo 4

Como ao longo de C_{1} o limite é 0 e ao longo de C_{2} é \tfrac{1}{3}, os limites são diferentes. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}}
não existe.

Passo 5

Para f ser contínua em (0,0), o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) teria de existir e ser igual a f(0,0)=1. Como o limite não existe, concluímos que f não é contínua em (0,0).

Resposta

(a) O limite não existe.
(b) A função f não é contínua em (0,0).

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