Considere T: P2 R^3 dada por p(t) mapsto(p(1), p(0), p(1)).
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon P2toR^3, p(t)mapstol(p(1),,p(0),,p(1)r)
Queremos mostrar que T é linear, ou seja, que para quaisquer p,qin P2 e cinR valem
  1. T(p+q)=T(p)+T(q),
  2. T(c,p)=c,T(p).

Passo 2

Sejam p(t) e q(t) em P2. Então
T(p+q) =l((p+q)(1),,(p+q)(0),,(p+q)(1)r) =l(p(1)+q(1),,p(0)+q(0),,p(1)+q(1)r)
Por outro lado,
T(p)+T(q) =l(p(1),,p(0),,p(1)r) +l(q(1),,q(0),,q(1)r) =l(p(1)+q(1),,p(0)+q(0),,p(1)+q(1)r)
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T(p+q)=T(p)+T(q)

Passo 3

Seja cinR e p(t)in P2. Então
T(c,p) =l((c,p)(1),,(c,p)(0),,(c,p)(1)r) =l(c,p(1),,c,p(0),,c,p(1)r) =c,l(p(1),,p(0),,p(1)r) =c,T(p)

Passo 4

Como T satisfaz additividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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