(a) É W=p in P3(R: p(-1)=0) isomorfo a R^2 ? Em caso afirmativo forneça uma prova; em casa negativo forneça um contraexemplo.
(b) É W=p in P3(R: p(-1)=0) isomorfo a R ? Em caso afirmativo forneça uma prova; em casa negativo forneça um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = ,p in P3(R) : p(-1)=0
depolinômios reais de grau <=3 que têm raiz em -1. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais e isomorfismos, onde vamos usar o Teorema da Dimensão e a construção de uma aplicação linear bijetiva.

Passo 2

Observe que todo pin W pode ser escrito como
p(x) = (x+1),q(x),
onde q é um polinômio de grau <=2 (pois deg p<=3). Definimos a aplicação
T : P2(R) to W, Tl(q(x)r) = (x+1),q(x)
É fácil ver que T é linear, injetora (se (x+1)q=0 então q=0) e sobrejetora por construção. Logo T é isomorfismo entre P2(R) e W.

Passo 3

Como P2(R) é de dimensão 3 (base canônica 1,x,x^2), temos
dim W = dim P2(R) = 3
Por outro lado dimR^2 = 2 e dimR = 1. Um isomorfismo linear entre espaços vetoriais finito-dimensionais só existe se eles tiverem a mesma dimensão.

Resposta

(a) Não. Como dim W=3 e dimR^2=2, não há isomorfismo (contradiz o Teorema da Dimensão).
(b) Não. Como dim W=3 e dimR=1, também não há isomorfismo.

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