(a) É
isomorfo a
? Em caso afirmativo forneça uma prova; em casa negativo forneça um contraexemplo.
(b) É
isomorfo a
? Em caso afirmativo forneça uma prova; em casa negativo forneça um contra-exemplo.
(b) É
Passo 1
O enunciado define o subespaço
depolinômios reais de grau
que têm raiz em
. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais e isomorfismos, onde vamos usar o Teorema da Dimensão e a construção de uma aplicação linear bijetiva.
Passo 2
Observe que todo
pode ser escrito como
onde
é um polinômio de grau
(pois
). Definimos a aplicação
É fácil ver que
é linear, injetora (se
então
) e sobrejetora por construção. Logo
é isomorfismo entre
e
.
Passo 3
Como
é de dimensão
(base canônica
), temos
Por outro lado
e
. Um isomorfismo linear entre espaços vetoriais finito-dimensionais só existe se eles tiverem a mesma dimensão.
Resposta
(a) Não. Como
e
, não há isomorfismo (contradiz o Teorema da Dimensão).
(b) Não. Como e
, também não há isomorfismo.
(b) Não. Como