Mostre que T: U V é injetora se, e somente se, T leva cada subconjunto LI de U em um subconjunto LI de V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma aplicação linear
T: U to V
é injetora se, e somente se, toda família finita linearmente independente em U tem imagem linearmente independente em V.
Conteúdo: definição de aplicação linear, injeção e de independência linear. Vamos usar:
  1. T é injetora iffker T=0.
  2. Um conjunto u1,dots,unsubset U é linearmente independente (LI) se
a1u1+cdots+anun=0implies a1=cdots=an=0

Passo 2

(Prova de “ Rightarrow”)
Suponha T injetora, e seja u1,dots,un um conjunto LI em U. Considere uma combinação linear nula na imagem:
a1T(u1)+cdots+anT(un)=0in V
Pela linearidade de T, isso é
Tl(a1u1+cdots+anunr)=0
Como ker T=0, temos
a1u1+cdots+anun=0
e, pela independência de ui, segue a1=cdots=an=0. Logo T(u1),dots,T(un) é LI em V.

Passo 3

(Prova de “ Leftarrow”)
Suponha que toda família LI em U tenha imagem LI em V. Para mostrar que T é injetora basta verificar que ker T=0. Seja uin U tal que T(u)=0. Se uneq0, então o conjunto u é LI em U, e por hipótese T(u)=0 seria LI em V. Mas um singleton v é LI somente se vneq0. Contradição. Logo u=0 e ker T=0, ou seja, T é injetora.

Resposta

Mostramos que T é injetora se, e somente se, leva cada subconjunto linearmente independente de U em um subconjunto linearmente independente de V.

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