Mostre que
é injetora se, e somente se,
leva cada subconjunto LI de
em um subconjunto LI de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma aplicação linear
é injetora se, e somente se, toda família finita linearmente independente em
tem imagem linearmente independente em
.
Conteúdo: definição de aplicação linear, injeção e de independência linear. Vamos usar:
Conteúdo: definição de aplicação linear, injeção e de independência linear. Vamos usar:
-
é injetora . - Um conjunto
é linearmente independente (LI) se
Passo 2
(Prova de “
”)
Suponha injetora, e seja
um conjunto LI em
. Considere uma combinação linear nula na imagem:
Suponha
Pela linearidade de
, isso é
Como
, temos
e, pela independência de
, segue
. Logo
é LI em
.
Passo 3
(Prova de “
”)
Suponha que toda família LI em tenha imagem LI em
. Para mostrar que
é injetora basta verificar que
. Seja
tal que
. Se
, então o conjunto
é LI em
, e por hipótese
seria LI em
. Mas um singleton
é LI somente se
. Contradição. Logo
e
, ou seja,
é injetora.
Suponha que toda família LI em
Resposta
Mostramos que
é injetora se, e somente se, leva cada subconjunto linearmente independente de
em um subconjunto linearmente independente de
.