Determinar se S é ou não subespaço de V=R^3, onde S é o conjunto de vetores (x, y, z) in R^3 tais que:
x=2 y,

Passo 1

O problema pede para ver se
S = (x,y,z)inR^3 mid x=2y
é um subespaço de V=R^3. Para isso usamos o critério padrão de subespaço:
  1. S não pode estar vazio (deve conter o vetor zero).
  2. S deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se 0=(0,0,0) está em S. Como para 0 temos x=0 e y=0, de fato
0 = 2cdot 0,
logo 0in S. Portanto Sneqvarnothing.

Passo 3

Fechamento sob soma. Dados
u=(2y1,y1,z1)in S, v=(2y2,y2,z2)in S,
temos
u+v = (2y1+2y2,;y1+y2,;z1+z2) = l(2(y1+y2),;y1+y2,;z1+z2r)
Note que no resultado o primeiro componente é 2 vezes o segundo, logo u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Para alphainR e
u=(2y1,y1,z1)in S,
temos
alpha u = (alphacdot 2y1,;alpha y1,;alpha z1) = l(2(alpha y1),;alpha y1,;alpha z1r),
e de novo o primeiro componente é 2 vezes o segundo, logo alpha uin S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que S é subespaço de R^3.

Resposta

S é subespaço de V=R^3.

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