Considere T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, y, 0).
Qual é o núcleo e a imagem da transformação linear?

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T:R^3toR^3,
T(x,y,z) = (x,y,0),
e pede para encontrarmos o núcleo (kernel) e a imagem (range) de T.
Conteúdo: subespaços associados a uma transformação linear, em particular
ker(T)=vmid T(v)=0 e Im(T)=T(v)mid vinR^3.

Passo 2

Para achar ker(T), resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0)
Isto exige
(x,y,0) = (0,0,0),
logo x=0 e y=0, mas z fica livre.
Portanto
ker(T) = (0,0,z)mid zinR = span(0,0,1)

Passo 3

Para achar Im(T), observamos que todo vetor de saída tem a forma
(x,y,0),
com x,yinR. Logo
Im(T) = (x,y,0)mid x,yinR = span(1,0,0),,(0,1,0)

Resposta

ker(T)=(0,0,z)mid zinR=span(0,0,1), Im(T)=(x,y,0)mid x,yinR=span(1,0,0),(0,1,0)

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