Considere
dada por
.
Qual a relação entre a dimensão da imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão do domínio da transformação?
Qual a relação entre a dimensão da imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão do domínio da transformação?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede a relação entre
,
e
.
O conteúdo aqui é o Teorema da Dimensão (Teorema Núcleo–Imagem), também chamado de Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity.
O conteúdo aqui é o Teorema da Dimensão (Teorema Núcleo–Imagem), também chamado de Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity.
Passo 2
Vamos achar a imagem de
. Como
todos os vetores da forma
estão em
. Logo,
que é um subespaço isomorfo a
. Portanto
Passo 3
Agora o núcleo de
é o conjunto de
tal que
Isso deixa
livre, então
um subespaço de dimensão 1. Logo
Passo 4
O domínio é
, cuja dimensão é
Passo 5
Pelo Teorema Núcleo–Imagem (Rank–Nullity), vale sempre
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A relação é
isto é,
.