Considere T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, y, 0).
Qual a relação entre a dimensão da imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão do domínio da transformação?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x,y,0),
e pede a relação entre dim(Im,T), dim(ker T) e dim(R^3).
O conteúdo aqui é o Teorema da Dimensão (Teorema Núcleo–Imagem), também chamado de Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity.

Passo 2

Vamos achar a imagem de T. Como
T(x,y,z)=(x,y,0),
todos os vetores da forma (x,y,0) estão em Im,T. Logo,
Im,T=(a,b,0)mid a,binR,
que é um subespaço isomorfo a R^2. Portanto
dim(Im,T)=2

Passo 3

Agora o núcleo de T é o conjunto de (x,y,z) tal que
T(x,y,z)=(0,0,0)implies x=0,;y=0
Isso deixa z livre, então
ker T=(0,0,z)mid zinR,
um subespaço de dimensão 1. Logo
dim(ker T)=1

Passo 4

O domínio é R^3, cuja dimensão é
dim(R^3)=3

Passo 5

Pelo Teorema Núcleo–Imagem (Rank–Nullity), vale sempre
dim(Im,T)+dim(ker T)=dim(domínio) í
Substituindo os valores encontrados:
2+1=3

Resposta

A relação é
dim(Im,T)+dim(ker T)=dim(R^3),
isto é, 2+1=3.

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