Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que:
T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1), T(0,1,1)=(0,0,1).
Determine T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre operadores lineares no espaço tridimensional. A gente precisa descobrir como o operador T age em qualquer vetor (x, y, z) de R^3, dado que já sabemos como ele age em três vetores específicos:
T(1,0,1) = (1,1,0), T(0,1,0) = (1,0,-1), T(0,1,1) = (0,0,1)
Para resolver isso, vamos usar a representação matricial dos operadores lineares e montar um sistema de equações para encontrar os componentes da matriz que representa T .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear T: R^3 R^3 pode ser representado por uma matriz A de tamanho 3 times 3 , tal que:
T(x, y, z) = A cdot x y z
Vamos supor que a matriz A tem a seguinte forma:
A = a & b & c d & e & f g & h & k
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, k .

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que o problema nos deu para montar equações. Sabemos que:
T(1,0,1) = A cdot 1 0 1 = 1 1 0
Fazendo a multiplicação:
a & b & c d & e & f g & h & k cdot 1 0 1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 1 g cdot 1 + h cdot 0 + k cdot 1 = a + c d + f g + k = 1 1 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + c = 1 d + f = 1 g + k = 0

Passo 4

Vamos fazer o mesmo com os outros vetores fornecidos:
T(0,1,0) = A cdot 0 1 0 = 1 0 -1
Multiplicando:
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 0 g cdot 0 + h cdot 1 + k cdot 0 = b e h = 1 0 -1
Então, temos:
b = 1 e = 0 h = -1

Passo 5

Por último, usamos o terceiro vetor:
T(0,1,1) = A cdot 0 1 1 = 0 0 1
Multiplicando:
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 1 g cdot 0 + h cdot 1 + k cdot 1 = b + c e + f h + k = 0 0 1
Assim, temos mais:
b + c = 0 e + f = 0 h + k = 1

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações que montamos. Já sabemos que:
b = 1, e = 0, h = -1
Substituindo esses valores nas equações restantes:
a + c = 1 d + f = 1 g + k = 0 b + c = 0 Rightarrow 1 + c = 0 Rightarrow c = -1 e + f = 0 Rightarrow 0 + f = 0 Rightarrow f = 0 h + k = 1 Rightarrow -1 + k = 1 Rightarrow k = 2
Agora, com c = -1 , podemos encontrar a :
a + (-1) = 1 Rightarrow a = 2
E com d + f = 1 e f = 0 :
d + 0 = 1 Rightarrow d = 1
Finalmente, com g + k = 0 e k = 2 :
g + 2 = 0 Rightarrow g = -2

Passo 7

Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz A :
A = a & b & c d & e & f g & h & k = 2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2
Então, o operador linear T é dado por:
T(x, y, z) = A cdot x y z = 2x + y - z x -2x - y + 2z

Resposta

Portanto, o operador linear T é:
T(x, y, z) = 2x + y - z x -2x - y + 2z

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