Se a matriz de uma transformação linear, T: R^2 R^3, é [T]C^B=[rr3 & 1 2 & 5 1 & -1], onde B=(-1,1),(1,0) e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) são bases de R^2 e R^3 respectivamente,
(a) encontre a expressão de T(x, y) e a matriz da transformação com respeito às bases canônicas de cada espaço.
(b) Qual a imagem do vetor (2,-3) pela T ?
(c) Se T(v)=(2,4,-2), calcule v.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^2toR^3 cuja matriz em relação à base B=b1,b2 de R^2 e à base C=c1,c2,c3 de R^3 é
[T]C^B = 3 & 1 2 & 5 1 & -1 ,
onde b1=(-1,1), b2=(1,0),
c1=(1,1,-1), c2=(2,1,0) e c3=(1,1,0).
Pedem:
(a) a fórmula de T(x,y) em coordenadas canônicas e a matriz canônica;
(b) T(2,-3);
(c) resolver T(v)=(2,4,-2).

Passo 2

Calculamos primeiro T(b1) e T(b2) em coordenadas canônicas, usando os coeficientes da matriz em relação a C:
T(b1)=3c1+2c2+1c3 =3(1,1,-1)+2(2,1,0)+(1,1,0) =(3+4+1,;3+2+1,;-3+0+0) =(8,6,-3),
T(b2)=1c1+5c2-1c3 =(1+10-1,;1+5-1,;-1+0+0) =(10,5,-1)

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y) em coordenadas canônicas, escrevemos
(x,y)=a1b1+a2b2=a1(-1,1)+a2(1,0).
Igualando coordenadas, obtemos a1=y e a2=x+y.
Logo
T(x,y) =y,T(b1)+(x+y),T(b2) =y(8,6,-3)+(x+y)(10,5,-1)
Desenvolvendo,
T(x,y) =(10x+18y,;5x+11y,;-x-4y)
Assim a matriz de T em bases canônicas é
A=[T]can= 10 & 18 5 & 11 -1 & -4

Passo 4

Aplicando T ao vetor (2,-3):
T(2,-3) =(10cdot2+18cdot(-3),;5cdot2+11cdot(-3),;-1cdot2-4cdot(-3)) =(-34,,-23,,10)

Passo 5

Para resolver
Dessa forma o sistema é incompatível (as três equações não têm solução comum), logo não existe .

Resposta

(a)
T(x,y)=(10x+18y,;5x+11y,;-x-4y),
[T]can= 10 & 18 5 & 11 -1 & -4
(b) T(2,-3)=(-34,-23,10)
(c) Não existe v tal que T(v)=(2,4,-2).

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