Considere T: R^3 R^3 dada por:
T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z)
a) Prove, usando a definição, que T é transformação linear.
b) Determine o subespaço núcleo de T e a sua dimensão.
c) Determine o subespaço imagem de T e a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^3toR^3 por T(x,y,z) = (,x - 3y - 2z,;y - 4z,;z,)
Queremos mostrar que T é linear (parte a), depois encontrar
o núcleo ker T e sua dimensão (parte b) e, por fim, a imagem Im,T e sua dimensão (parte c).

Passo 2

Para provar que T é linear pela definição, tomemos quaisquer vetores (x1,y1,z1), (x2,y2,z2)inR^3 e escalar alphainR.
Primeiro,
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Aplicando a fórmula de T,
T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = l((x1+x2)-3(y1+y2)-2(z1+z2),; (y1+y2)-4(z1+z2),; z1+z2r)
Distribuindo, isso é
=(,x1-3y1-2z1,;y1-4z1,;z1,) +(,x2-3y2-2z2,;y2-4z2,;z2,) = T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2)
Segundo,
Tl(alpha(x1,y1,z1)r) = T(alpha x1,;alpha y1,;alpha z1) = l(alpha x1-3alpha y1-2alpha z1,;alpha y1-4alpha z1,;alpha z1r) = alpha,T(x1,y1,z1)
Portanto, T preserva soma e produto por escalar, logo é transformação linear.

Passo 3

Para achar
isto é, o sistema
Da terceira equação vem . E então da primeira segue .
Logo
cuja dimensão é

Passo 4

A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T (ou pelos vetores T(ei)). Usando a base canônica:
T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,0), T(e2) = T(0,1,0) = (-3,1,0), T(e3) = T(0,0,1) = (-2,-4,1)
Então
Im,T = span(1,0,0),,(-3,1,0),,(-2,-4,1)
Como esses três vetores são linearmente independentes (a matriz é triangular superior com pivôs não nulos), eles formam uma base de R^3. Logo
Im,T = R^3 e dim(Im,T) = 3

Resposta

a) T é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar conforme mostrado.
b) ker T = (0,0,0), dim(ker T)=0.
c) Im,T = R^3, dim(Im,T)=3.

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