a) Prove, usando a definição, que é transformação linear.
b) Determine o subespaço núcleo de e a sua dimensão.
c) Determine o subespaço imagem de e a sua dimensão.
Passo 1
O enunciado define
Queremos mostrar que é linear (parte a), depois encontrar
o núcleo e sua dimensão (parte b) e, por fim, a imagem e sua dimensão (parte c).
Passo 2
Para provar que é linear pela definição, tomemos quaisquer vetores , e escalar .
Primeiro,
Aplicando a fórmula de ,
Distribuindo, isso é
Segundo,
Portanto, preserva soma e produto por escalar, logo é transformação linear.
Passo 3
Para achar
isto é, o sistema
Da terceira equação vem . E então da primeira segue .
Logo
cuja dimensão é
Passo 4
A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T (ou pelos vetores T(ei)). Usando a base canônica: