Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=11.
8^-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o inverso multiplicativo de 8 no anel Z/11Z. Ou seja, queremos achar um inteiro x tal que
8x equiv 1 pmod11
Para isso, vamos usar o algoritmo estendido de Euclides.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides a 11 e 8 para obter o gcd e, em seguida, expressar 1 como combinação linear:
11 = 8 times 1 + 3,
8 = 3 times 2 + 2,
3 = 2 times 1 + 1,
2 = 1 times 2 + 0
Como o último resto não nulo é 1, temos gcd(8,11)=1.

Passo 3

Agora fazemos a retro-substituição para escrever 1 como combinação de 8 e 11:
1 = 3 - 2 times 1,
mas 2 = 8 - 3 times 2, então
1 = 3 - l(8 - 3 times 2r) = 3 times 3 - 8
E como 3 = 11 - 8, resulta
1 = (11 - 8)times 3 - 8 = 11times 3 - 8times 4
Logo,
-4cdot 8 + 3cdot 11 = 1

Passo 4

Da expressão acima vemos que o coeficiente de 8 é -4. Portanto, um inverso de 8 módulo 11 é -4. Reduzindo a classe de -4 em Z/11Z, obtemos
-4 equiv 7 pmod11

Resposta

,7

Exercícios relacionados