Considere a transformação linear
dada por:
Prove que
é isomorfismo, justificando sua resposta. Dica: você pode utilizar o item (a).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos mostrar que
é isomorfismo, ou seja, bijetora e linear. Num espaço de dimensão finita igual, basta provar que
(ou que
da matriz de
é não nulo).
Passo 2
Para encontrar
Da segunda equação vem . Na segunda
. Logo
.
Passo 3
Concluímos que
, ou seja,
é injetora. Como domínio e contradomínio têm mesma dimensão finita, injetividade implica também sobrejetividade. Portanto
é bijetora e linear, isto é, um isomorfismo.