Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por:
T(x, y, z)=(x-2 y+z, x, x+2 y+z)
Prove que T é isomorfismo, justificando sua resposta. Dica: você pode utilizar o item (a).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x-2y+z,;x,;x+2y+z)
Queremos mostrar que T é isomorfismo, ou seja, bijetora e linear. Num espaço de dimensão finita igual, basta provar que ker(T)=0 (ou que det da matriz de T é não nulo).

Passo 2

Para encontrar
Da segunda equação vem . Na segunda . Logo .

Passo 3

Concluímos que ker(T)=(0,0,0), ou seja, T é injetora. Como domínio e contradomínio têm mesma dimensão finita, injetividade implica também sobrejetividade. Portanto T é bijetora e linear, isto é, um isomorfismo.

Resposta

T é isomorfismo porque ker(T)=0, logo T é bijetora em R^3.

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