Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que:
T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1), T(0,1,1)=(0,0,1).
T é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o operador linear T: R^3 R^3 dado é um isomorfismo. Se for, também precisamos encontrar sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformação, determinantes e cálculo de inversas de matrizes. Vamos precisar montar a matriz de T , verificar se ela é invertível (ou seja, se seu determinante é diferente de zero) e, se for, calcular essa inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz que representa o operador linear T . Sabemos como T age em três vetores específicos:
T(1,0,1) = (1,1,0), T(0,1,0) = (1,0,-1), T(0,1,1) = (0,0,1)
Vamos considerar que a matriz de T seja:
A = a & b & c d & e & f g & h & k
Nosso objetivo é determinar os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, k .

Passo 3

Vamos aplicar T aos vetores dados e montar um sistema de equações para encontrar os elementos da matriz A .
Para T(1,0,1) = (1,1,0) :
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = 1 Rightarrow a + c = 1 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 1 = 1 Rightarrow d + f = 1 g cdot 1 + h cdot 0 + k cdot 1 = 0 Rightarrow g + k = 0
Para T(0,1,0) = (1,0,-1) :
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 = 1 Rightarrow b = 1 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 0 = 0 Rightarrow e = 0 g cdot 0 + h cdot 1 + k cdot 0 = -1 Rightarrow h = -1
Para T(0,1,1) = (0,0,1) :
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1 = 0 Rightarrow b + c = 0 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 1 = 0 Rightarrow e + f = 0 g cdot 0 + h cdot 1 + k cdot 1 = 1 Rightarrow h + k = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. De b = 1 e b + c = 0 , temos c = -1 .
  2. De e = 0 e e + f = 0 , temos f = 0 .
  3. De d + f = 1 e f = 0 , temos d = 1 .
  4. De g + k = 0 e h + k = 1 , mas sabemos que h = -1 , então:
-1 + k = 1 Rightarrow k = 2
E de g + k = 0 , temos g = -2 .
Assim, os elementos da matriz A são:
A = a & b & c d & e & f g & h & k = 1 + (-1) & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2
Corrigindo o primeiro elemento:
De a + c = 1 e c = -1 , temos a = 2 .
Então, a matriz fica:
A = 2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2

Passo 5

Agora, vamos verificar se A é invertível calculando seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, T é um isomorfismo.
Calculando o determinante de A :
det(A) = 2 cdot (0 cdot 2 - 0 cdot (-1)) - 1 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot (-2)) + (-1) cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot (-2))
Simplificando:
det(A) = 2 cdot (0 - 0) - 1 cdot (2 - 0) + (-1) cdot (-1 - 0) det(A) = 0 - 2 + 1 = -1
Como det(A) = -1 neq 0 , a matriz A é invertível, o que significa que T é um isomorfismo.

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa da matriz A . Para uma matriz 3x3, a inversa A^-1 pode ser calculada usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta de A . Calculando a adjunta e multiplicando pelo inverso do determinante:
A^-1 = 1-1 cdot (0 cdot 2 - 0 cdot (-1)) & -(1 cdot 2 - 0 cdot (-2)) & (1 cdot (-1) - 0 cdot (-2)) -(1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) & (2 cdot 2 - (-1) cdot (-2)) & -(2 cdot (-1) - (-1) cdot (-2)) (1 cdot 0 - 0 cdot 1) & -(2 cdot 0 - 1 cdot (-2)) & (2 cdot (-1) - 1 cdot 1)
Simplificando:
A^-1 = -1 cdot 0 & -2 & -1 -2 & (4 - 2) & - ( -2 - 2 ) 0 & 2 & (-2 -1) = -1 cdot 0 & -2 & -1 -2 & 2 & 4 0 & 2 & -3 = 0 & 2 & 1 2 & -2 & -4 0 & -2 & 3

Resposta

Sim, T é um isomorfismo. Sua inversa é dada pela matriz:
T^-1 = 0 & 2 & 1 2 & -2 & -4 0 & -2 & 3

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