Seja um operador linear tal que: . é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o operador linear dado é um isomorfismo. Se for, também precisamos encontrar sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformação, determinantes e cálculo de inversas de matrizes. Vamos precisar montar a matriz de , verificar se ela é invertível (ou seja, se seu determinante é diferente de zero) e, se for, calcular essa inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz que representa o operador linear . Sabemos como age em três vetores específicos:
Vamos considerar que a matriz de seja:
Nosso objetivo é determinar os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, k .
Passo 3
Vamos aplicar T aos vetores dados e montar um sistema de equações para encontrar os elementos da matriz A .
Para T(1,0,1) = (1,1,0) :
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = 1 Rightarrow a + c = 1 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 1 = 1 Rightarrow d + f = 1 g cdot 1 + h cdot 0 + k cdot 1 = 0 Rightarrow g + k = 0
Para T(0,1,0) = (1,0,-1) :
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 = 1 Rightarrow b = 1 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 0 = 0 Rightarrow e = 0 g cdot 0 + h cdot 1 + k cdot 0 = -1 Rightarrow h = -1
Para T(0,1,1) = (0,0,1) :
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1 = 0 Rightarrow b + c = 0 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 1 = 0 Rightarrow e + f = 0 g cdot 0 + h cdot 1 + k cdot 1 = 1 Rightarrow h + k = 1
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
De b = 1 e b + c = 0 , temos c = -1 .
De e = 0 e e + f = 0 , temos f = 0 .
De d + f = 1 e f = 0 , temos d = 1 .
De g + k = 0 e h + k = 1 , mas sabemos que h = -1 , então:
-1 + k = 1 Rightarrow k = 2
E de g + k = 0 , temos g = -2 .
Assim, os elementos da matriz A são:
A = a & b & c d & e & f g & h & k = 1 + (-1) & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2
Corrigindo o primeiro elemento:
De a + c = 1 e c = -1 , temos a = 2 .
Então, a matriz fica:
A = 2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2
Passo 5
Agora, vamos verificar se A é invertível calculando seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, T é um isomorfismo.