Mostre que Nuc(T-2 IV), Im(T-2 IV), Nuc(T^2-2 T) e Nuc(T^2+IV) são T-invariantes.
Passo 1
O enunciado fornece o espaço vetorial V=R^3 e a transformação linear
T(x,y,z)=6x-3y-2z4x-y-2z10x-5y-3z
Queremos mostrar que as subespaços Nuc(T-2IV), Im(T-2IV), Nuc(T^2-2T) e Nuc(T^2+IV) são invariantes por T.
O conteúdo principal aqui é que todo polinômio em T comuta com T, e que, sempre que um operador S comuta com T, tanto ker S quanto ImS são T-invariantes.
Passo 2
Note que os operadores
T-2IV, T^2-2T, T^2+IV
são polinômios em T. Assim, por propriedades de operadores lineares, temos