Considere V=R^3 e T in L(V) dado como
T(x, y, z)=[c 6 x-3 y-2 z 4 x-y-2 z 10 x-5 y-3 z ]
Mostre que Nuc(T-2 IV), Im(T-2 IV), Nuc(T^2-2 T) e Nuc(T^2+IV) são T-invariantes.

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial V=R^3 e a transformação linear
T(x,y,z)=6x-3y-2z4x-y-2z10x-5y-3z
Queremos mostrar que as subespaços
Nuc(T-2IV), Im(T-2IV), Nuc(T^2-2T) e Nuc(T^2+IV) são invariantes por T.
O conteúdo principal aqui é que todo polinômio em T comuta com T, e que, sempre que um operador S comuta com T, tanto ker S quanto ImS são T-invariantes.

Passo 2

Note que os operadores
T-2IV, T^2-2T, T^2+IV
são polinômios em T. Assim, por propriedades de operadores lineares, temos
T,(T-2IV)=(T-2IV),T, T,(T^2-2T)=(T^2-2T),T, T,(T^2+IV)=(T^2+IV),T
Isto é, cada um desses operadores comuta com T.

Passo 3

Prova do lema geral de invariância: se SinL(V) e ST=TS, então
  1. para todo vinker S temos S(v)=0, logo
Sl(T(v)r)=Tl(S(v)r)=T(0)=0,
ou seja T(v)inker S, portanto ker S é T-invariante;
2. para todo winImS existe u tal que w=S(u), então
T(w)=Tl(S(u)r)=Sl(T(u)r)inImS,
mostrando que ImS é T-invariante.

Passo 4

Aplicando o lema com S=T-2IV, concluímos que
Nuc(T-2IV)=ker(T-2IV) e Im(T-2IV) são T-invariantes.

Passo 5

Aplicando o mesmo argumento com S=T^2-2T, obtemos que
Nuc(T^2-2T) é T-invariante.

Passo 6

Finalmente, aplicando o argumento com S=T^2+IV, vemos que
Nuc(T^2+IV) é T-invariante.

Resposta

As quatro subespaços Nuc(T-2IV), Im(T-2IV), Nuc(T^2-2T) e Nuc(T^2+IV) são invariantes por T.

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