Queremos saber se existe uma base beta de V sobre R em que [T]beta seja diagonal. Para isso vamos: 1) mostrar que V=W1oplus W2 com cada Wi invariante por T; 2) restringir T a cada Wi e calcular o polinômio característico; 3) verificar se há raízes reais suficientes para diagonalizar em R.]
Passo 2
Cada Wi é definido por 2 equações lineares independentes em R^4, logo dim Wi=4-2=2. Pode-se checar que
W1cap W2=0, dim W1+dim W2=2+2=4,
portanto
V = W1oplus W2
Basta ainda verificar que T(Wi)subseteq Wi para cada i, o que mostra que em uma base adequada [T]beta fica em bloco-diagonal com dois blocos 2times2.
Passo 3
Por exemplo, em W1 temos as condições
w=x+3y, z=,w-x-y=2y,
isto é, cada vetor de W1 é (x,y,2y,x+3y). Aplicando T obtemos
T(x,y,2y,x+3y) =l(x+y,,-x,,-2x,,-2x+yr),
e verifica-se diretamente que essas coordenadas satisfazem de novo ,x'+3y'-w'=0 e ,x'+y'+z'-w'=0, logo T(W1)subset W1.
Análogo para W2.
Passo 4
Escolhendo uma base u1,u2 de W1 e escrevendo T|W1 nessa base, chega-se à matriz
M1=1&1-1&0
O polinômio característico é
det(M1-lambda I) =lambda^2-lambda+1,
cuja discriminante é De<a=1-4=-3<0. Portanto lambda^2-lambda+1 não tem raízes reais.
De modo semelhante, em W2 obtemos um bloco
M2=1&1-1&2
com polinômio característico
lambda^2-3lambda+3,
também sem raízes reais (De<a=9-12=-3).
Passo 5
Para haver base real que diagonalize T é preciso ter 4 autovalores reais (um para cada vetor-base autovetor). Mas tanto M1 quanto M2 geram pares de autovalores complexos conjugados, sem nenhum autovalor real. Logo não existem autovetores reais suficientes para diagonalizar T em R^4.
Resposta
Não existe base beta de R^4 em que [T]beta seja diagonal.