Considere V=R^4, W1=(x, y, z, w) in R^4 mid x+3 y-w=0, x+y+z-w=0, W2=(x, y, z, w) in R^4 mid x-2 y+z+w=0, x+z=0 e T in L(V) dado como
T(x, y, z, w)=[c x+y -3 x-2 y-2 z+2 w x+5 y+2 z-3 w -5 x-2 y-3 z+3 w ]
Existe uma base beta de V de forma que [T]beta seja diagonal?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real V=R^4, dois subespaços
W1=(x,y,z,w)inR^4 mid x+3y-w=0,;x+y+z-w=0,
W2=(x,y,z,w)inR^4 mid x-2y+z+w=0,;x+z=0,
e o operador linear Tcolon Vto V dado por
T(x,y,z,w) = x+y[6pt] -3x-2y-2z+2w[4pt] x+5y+2z-3w[4pt] -5x-2y-3z+3w
Queremos saber se existe uma base beta de V sobre R em que [T]beta seja diagonal. Para isso vamos:
1) mostrar que V=W1oplus W2 com cada Wi invariante por T;
2) restringir T a cada Wi e calcular o polinômio característico;
3) verificar se há raízes reais suficientes para diagonalizar em R.]

Passo 2

Cada Wi é definido por 2 equações lineares independentes em R^4, logo dim Wi=4-2=2. Pode-se checar que
W1cap W2=0, dim W1+dim W2=2+2=4,
portanto
V = W1oplus W2
Basta ainda verificar que T(Wi)subseteq Wi para cada i, o que mostra que em uma base adequada [T]beta fica em bloco-diagonal com dois blocos 2times2.

Passo 3

Por exemplo, em W1 temos as condições
w=x+3y, z=,w-x-y=2y,
isto é, cada vetor de W1 é (x,y,2y,x+3y). Aplicando T obtemos
T(x,y,2y,x+3y) =l(x+y,,-x,,-2x,,-2x+yr),
e verifica-se diretamente que essas coordenadas satisfazem de novo
,x'+3y'-w'=0 e ,x'+y'+z'-w'=0, logo T(W1)subset W1.
Análogo para W2.

Passo 4

Escolhendo uma base u1,u2 de W1 e escrevendo T|W1 nessa base, chega-se à matriz
M1=1&1-1&0
O polinômio característico é
det(M1-lambda I) =lambda^2-lambda+1,
cuja discriminante é De<a=1-4=-3<0. Portanto lambda^2-lambda+1 não tem raízes reais.
De modo semelhante, em W2 obtemos um bloco
M2=1&1-1&2
com polinômio característico
lambda^2-3lambda+3,
também sem raízes reais ( De<a=9-12=-3).

Passo 5

Para haver base real que diagonalize T é preciso ter 4 autovalores reais (um para cada vetor-base autovetor). Mas tanto M1 quanto M2 geram pares de autovalores complexos conjugados, sem nenhum autovalor real. Logo não existem autovetores reais suficientes para diagonalizar T em R^4.

Resposta

Não existe base beta de R^4 em que [T]beta seja diagonal.

Exercícios relacionados