Sejam
e
e
subespaços
-invariantes, prove que
e
são
-invariantes.
Passo 1
O enunciado envolve uma aplicação linear
e dois subespaços
e
tais que
Dizemos que um subespaço
é
-invariante se, para todo
, vale
. Vamos usar essa definição e a linearidade de
para mostrar que
e
também satisfazem essa condição.
Passo 2
Mostramos que
é
-invariante. De fato, seja
Então
e
. Como cada
é
-invariante, temos
Logo
ou seja,
.
Passo 3
Agora provamos que
é
-invariante. Primeiro, por definição,
Seja
Pela linearidade de
,
Como
e
são invariantes, temos
e
. Logo
ou seja,
.
Resposta
Tanto
quanto
são
-invariantes.