Sejam T in L(V) e W1 e W2 subespaços T-invariantes, prove que W1 cap W2 e W1+W2 são T-invariantes.

Passo 1

O enunciado envolve uma aplicação linear Tcolon Vto V e dois subespaços W1 e W2 tais que
T(W1)subseteq W1 e T(W2)subseteq W2
Dizemos que um subespaço W é T-invariante se, para todo win W, vale T(w)in W. Vamos usar essa definição e a linearidade de T para mostrar que W1cap W2 e W1+W2 também satisfazem essa condição.

Passo 2

Mostramos que W1cap W2 é T-invariante. De fato, seja
vin W1cap W2
Então vin W1 e vin W2. Como cada Wi é T-invariante, temos
T(v)in W1 e T(v)in W2
Logo
T(v)in W1cap W2,
ou seja, T(W1cap W2)subseteq W1cap W2.

Passo 3

Agora provamos que W1+W2 é T-invariante. Primeiro, por definição,
W1+W2=,w1+w2mid w1in W1,,w2in W2
Seja
v=w1+w2in W1+W2
Pela linearidade de T,
T(v)=T(w1+w2)=T(w1)+T(w2)
Como W1 e W2 são invariantes, temos T(w1)in W1 e T(w2)in W2. Logo
T(v)=T(w1)+T(w2)in W1+W2,
ou seja, T(W1+W2)subseteq W1+W2.

Resposta

Tanto W1cap W2 quanto W1+W2 são T-invariantes.

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