Considere V=R^3 e T in L(V) dado como T(x, y, z)=[c4 y+2 z -3 x+8 y+3 w 4 x+8 y-2 w]. Em cada caso, determine se o subespaço é T-invariante.
E=>=r[l0 0 1]

Passo 1

Temos V=R^3 e a transformação linear Tcolon Vto V definida por
T(x,y,z)= 4y+2z -3x+8y+3z 4x+8y-2z
O subespaço em questão é
E=>=rl001r
O conteúdo que vamos usar é a definição de subespaço T-invariante, ou seja, testar se T(v)inE para todo vinE.

Passo 2

Lembrando que um subespaço Wsubset V é T-invariante se, e somente se,
T(w)in Wpara todo win W
Como E é gerado por um único vetor v=(0,0,1)^T, basta verificar se T(v)inE.

Passo 3

Calculemos T(v) com v=(0,0,1):
T(0,0,1) = 4cdot0+2cdot1 -3cdot0+8cdot0+3cdot1 4cdot0+8cdot0-2cdot1 = 2 3 -2

Passo 4

Para estar em E, o vetor T(0,0,1) teria de ser um múltiplo escalar de 001, isto é,
23-2 = lambda 001
para algum lambda. Mas as duas primeiras coordenadas em T(0,0,1) são não nulas, o que impede escrever esse vetor como lambda(0,0,1)^T.

Resposta

E não é T-invariante.

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