Considere V=R^4 e T in L(V) dado como T(x, y, z, w)=[c2 x+y-w 2 y+z+w 2 z 2 w]. Em cada caso, determine se o subespaço é T-invariante.
A=>=r[l1 0 0 0],[c-1 1 0 0]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subespaço
A=>=ra1,a2subsetR^4,
com
a1 = 1000, a2 = -1100,
é T-invariante, isto é, se T(a1) e T(a2) permanecem em A. Lembrando que
T(x,y,z,w)= 2x+y-w 2y+z+w 2z 2w

Passo 2

Calculamos T(a1)=T(1,0,0,0):
T(a1) = 2cdot1 + 0 - 0 2cdot0 + 0 + 0 2cdot0 2cdot0 =2000
Note que
2000=2,a1,
logo T(a1)inA.

Passo 3

Calculamos T(a2)=T(-1,1,0,0):
T(a2) = 2(-1)+1-0 2cdot1+0+0 0 0 =-1200
Procuramos alpha,beta tais que
alpha,a1+beta,a2=(alpha-beta,beta,0,0)^T=(-1,2,0,0)^T.
Daí beta=2 e alpha-beta=-1impliesalpha=1.
Assim T(a2)=1cdot a1+2cdot a2inA.

Passo 4

Como T(a1) e T(a2) ficam em A, segue que T envia todo vetor de A para A. Portanto A é T-invariante.

Resposta

O subespaço A é T-invariante.

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