Considere V=R^4 e T in L(V) dado como T(x, y, z, w)=[c2 x+y-w 2 y+z+w 2 z 2 w]. Em cada caso, determine se o subespaço é T-invariante.
B=>=r[l1 0 0 0],[l0 0 0 1]

Passo 1

O enunciado nos dá V=R^4 e a aplicação linear
T(x,y,z,w)=2x+y-w2y+z+w2z2w
Queremos ver se o subespaço
W=spanl1000,0001r
é T-invariante. Por definição, basta checar se T(v)in W para cada gerador v de W.

Passo 2

Tomando v1=(1,0,0,0)^T, temos
T(v1)=T(1,0,0,0) =2cdot1+0-02cdot0+0+02cdot02cdot0 =2000 =2,v1in W
Logo, T(v1) permanece em W.

Passo 3

Agora com v2=(0,0,0,1)^T, calculamos
T(v2)=T(0,0,0,1) =0+0-10+0+102 =-1102
Escrevendo em coordenadas canônicas, isso é -1,v1 +1,e2 +0,e3 +2,v2, onde e2=(0,1,0,0)^T. Aparece componente em e2, que não pertence a W.

Passo 4

Como T(v2)notin W, o subespaço não é fechado por T. Portanto ele não é T-invariante.

Resposta

O subespaço gerado por (1,0,0,0)^T,(0,0,0,1)^T não é T-invariante.

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