Considere V=R^4 e T in L(V) dado como T(x, y, z, w)=[c2 x+y-w 2 y+z+w 2 z 2 w]. Em cada caso, determine se o subespaço é T-invariante.
C=>=r[l1 0 0 0],[c0 -1 1 -1]

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço V=R^4 e o operador linear
T(x,y,z,w)=2x+y-w2y+z+w2z2w
Queremos decidir se o subespaço
C=>=rl1000,,0-11-1r
é T-invariante, isto é, se T(v)inC para todo gerador v de C.

Passo 2

Calculemos T aplicado ao primeiro gerador
v1=1000.
Temos
T(v1) =2cdot1+0-02cdot0+0+02cdot02cdot0 =2000 =21000 =2,v1
Logo T(v1) está em C.

Passo 3

Agora calculemos T aplicado ao segundo gerador
v2=0-11-1.
Obtemos
T(v2) =2cdot0+(-1)-(-1)2(-1)+1+(-1)2cdot12(-1) =0-22-2 =20-11-1 =2,v2
Logo T(v2) também está em C.

Passo 4

Como T leva cada gerador de C para um múltiplo do próprio gerador, concluímos que C é T-invariante.

Resposta

O subespaço C é T-invariante.

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