Considere V=R^4 e T in L(V) dado como T(x, y, z, w)=[c2 x+y-w 2 y+z+w 2 z 2 w]. Em cada caso, determine se o subespaço é T-invariante.
D=>=r[l0 0 0 1],[c0 -1 1 -1]

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^4 e o operador linear
T(x,y,z,w)=2x+y-w2y+z+w2z2w
O subespaço D é gerado pelos vetores
v1 = 0001, v2 = 0-11-1
Queremos decidir se D é T-invariante, ou seja, se T(D)subseteq D.

Passo 2

Por definição, D é T-invariante se para todo vin D tivermos T(v)in D.
Como D=spanv1,v2, basta checar se T(v1) e T(v2) ficam em D, pois T é linear.

Passo 3

Calculemos primeiro
Um vetor pertence a se existem escalares tais que

Passo 4

Para testar se está em , igualamos
Da primeira coordenada vem , o que é absurdo. Logo não existem que gerem a partir de . Isso basta para concluir que .

Resposta

O subespaço D não é T-invariante, pois T(v1)notin D.

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