Considere V=R^4 e T in L(V) dado como T(x, y, z, w)=[c2 x+y-w 2 y+z+w 2 z 2 w]. Em cada caso, determine se o subespaço é T-invariante.
E=>=r[l1 0 0 0],[c-1 1 0 0],[l0 0 0 1]

Passo 1

O enunciado considera V=R^4 e a transformação linear
T(x,y,z,w)=2x+y-w2y+z+w2z2w,
e o subespaço
E=spanl1000,;-1100,;0001r
O conteúdo aqui é verificar se E é invariante sob T, isto é, se para todo vetor gerador v de E vale T(v)inE.

Passo 2

Definimos
v1=1000, v2=-1100, v3=0001
Calculamos
T(v1)=T(1,0,0,0)=2cdot1+0-02cdot0+0+000 =2000 =2,v1,
que claramente pertence a E.

Passo 3

Agora
Buscamos tais que
Das equações e vem . Logo

Passo 4

Finalmente
Procuramos tais que
Das componentes obtemos , e . Assim

Passo 5

Como T(vi)inE para i=1,2,3, segue T(E)subseteqE.

Resposta

E é T-invariante.

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