Dados o espaço V e seus subespaços W1, W2, W3, determine V=W1 oplus W2 oplus W3.
V=R^3, W1=>=r[l1 2 2], W2=>=r[c-1 0 1] e W3=>=r[l2 2 1].

Passo 1

Temos V=R^3 e três subespaços unidimensionais
W1=spanl,(1,2,2)^Tr, W2=spanl;(-1,0,1)^Tr, W3=spanl;(2,2,1)^Tr
Queremos verificar se
V ;=; W1oplus W2oplus W3,
isto é, se W1+W2+W3=V e se essa soma é direta (ou seja, se a expressão de cada vetor de V como soma de vetores em W1,W2,W3 é única).

Passo 2

Uma forma prática de checar isso é analisar se os vetores
v1 = 122, v2 = -101, v3 = 221
são linearmente independentes e formam base de R^3. Se forem base, então span v1,v2,v3=V e a soma é direta.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz que tem v1,v2,v3 como colunas:
M = 1 & -1 & 2 2 & 0 & 2 2 & 1 & 1
O determinante é
det(M) =1cdot0&21&1 -(-1)cdot2&22&1 +2cdot2&02&1
Calculando cada menor:
0&21&1=0cdot1-2cdot1=-2, 2&22&1=2cdot1-2cdot2=-2, 2&02&1=2cdot1-0cdot2=2
Logo
det(M)=1cdot(-2)-(-1)cdot(-2)+2cdot2 =-2 -2 +4 = 0
Como det(M)=0, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

De fato, nota-se que
v3 = v1 - v2,
ou seja, W3subseteq W1+W2. Logo
W1+W2+W3 = W1+W2
tem dimensão 2, não alcança todo R^3.

Resposta

Não. Tem-se
W1+W2+W3 = W1+W2 subsetneq R^3 e dim(W1+W2+W3)=2,
logo
V neq W1oplus W2oplus W3

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